Все возможные решения алгоритма n-Queen

Question

При реализации алгоритма для всех возможных решений проблемы n-Queen я обнаружил, что одно и то же решение достигается многими ветвями. Есть ли хороший способ генерировать уникальные решения проблемы n-Queens? Как избежать дублирования решений, генерируемых различными ветвями (кроме хранения и сравнения)?

Вот что я попробовал для первого решения: http://www.ideone.com/hDpr3

Код:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

/* crude */

#define QUEEN 'Q'
#define BLANK '.'

int is_valid (char **board, int n, int a, int b)
{
  int i, j;

  for (i=0; i<n; i++)
  {
    if (board[a][i] == QUEEN)
      return 0;
    if (board[i][b] == QUEEN)
      return 0;
  }

  for (i=a, j=b; (i>=0) && (j>=0); i--, j--)
  {
    if (board[i][j] == QUEEN)
      return 0;
  }

  for (i=a, j=b; (i<n) && (j<n); i++, j++)
  {
    if (board[i][j] == QUEEN)
      return 0;
  }

  for (i=a, j=b; (i>=0) && (j<n); i--, j++)
  {
    if (board[i][j] == QUEEN)
      return 0;
  }

  for (i=a, j=b; (i<n) && (j>=0); i++, j--)
  {
    if (board[i][j] == QUEEN)
      return 0;
  }
  return 1;
}

void show_board (char **board, int n)
{
  int i, j;

  for (i=0; i<n; i++)
  {
    printf ("\n");
    for (j=0; j<n; j++)
    {
      printf (" %c", board[i][j]);
    }
  }
}

int nqdfs_all (char **board, int n, int d)
{
  int i, j, ret = 0;

  /* the last queen was placed on the last depth
   * therefore this dfs branch in the recursion 
   * tree is a solution, return 1
   */
  if (d == n)
  {
    /* Print whenever we find one solution */
    printf ("\n");
    show_board (board, n);
    return 1;
  }

  /* check all position */
  for (i=0; i<n; i++)
  {
    for (j=0; j<n; j++)
    {
      if (is_valid (board, n, i, j))
      {
    board[i][j] = QUEEN;
    nqdfs_all (board, n, d + 1);
    board[i][j] = BLANK;
      }
    }
  }

  return ret;  
}

int nqdfs_first (char **board, int n, int d)
{
  int i, j, ret = 0;

  /* the last queen was placed on the last depth
   * therefore this dfs branch in the recursion 
   * tree is a solution, return 1
   */
  if (d == n)
    return 1;

  /* check all position */
  for (i=0; i<n; i++)
  {
    for (j=0; j<n; j++)
    {
      if (is_valid (board, n, i, j))
      {
    board[i][j] = QUEEN;
    ret = nqdfs_first (board, n, d + 1);
    if (ret)
    {
      /* if the first branch is found, tell about its 
       * success to its parent, we will not look in other
       * solutions in this function.
       */
      return ret;
    }
    else
    {
      /* this was not a successful path, so replace the
       * queen with a blank, and prepare board for next
       * pass
       */
      board[i][j] = BLANK;
    }
      }
    }
  }

  return ret;
}

int main (void)
{
  char **board;
  int n, i, j, ret;

  printf ("\nEnter \"n\": ");
  scanf ("%d", &n);

  board = malloc (sizeof (char *) * n);
  for (i=0; i<n; i++)
  {
    board[i] = malloc (sizeof (char) * n);
    memset (board[i], BLANK, n * sizeof (char));
  }

  nqdfs_first (board, n, 0);
  show_board (board, n);

  printf ("\n");
  return 0;
}

Для генерации всех возможных решений я использовал один и тот же код nqdfs_all () функция, но не вернул элемент управления родителю, вместо этого продолжил перечисление и проверку. Вызов этой функции отображает повторяющиеся результаты, достигнутые различными ветвями.

Answer 1

Вы должны использовать тот факт, что каждая королева должна быть размещена в отдельном столбце. Если вы уже поместили k ферзей в первые k столбцов, рекурсивно поместите номер ферзя k+1 в столбец k+1 и пройдите через строки с 1 по n (а не через все n*n ячеек, как вы это делаете в настоящее время). Продолжайте с k:=k+1 для каждого действительного размещения. Это позволит избежать дублирования результатов, поскольку этот алгоритм вообще не создает дублирующихся плат.

РЕДАКТИРОВАТЬ: к вашему вопросу об избежании симметрии: часть из них можно избежать заранее, например, ограничив королеву 1 в столбце 1 в строки 1,...n/2, Если вы хотите полностью избежать вывода симметричных решений, вам придется хранить каждое найденное решение в списке, и всякий раз, когда вы находите новое решение, перед его распечатыванием проверяйте, присутствует ли один из его симметричных эквивалентов в списке.

Чтобы сделать это более эффективным, вы можете работать с "каноническим представлением" каждой доски, определяемым следующим образом. Создайте все симметричные платы данного, упакуйте каждую из них в байтовый массив, и среди этих массивов сохраните массив, который, интерпретируемый как большое число, имеет минимальное значение. Это упакованное представление является уникальным идентификатором класса симметрии каждой платы и может быть легко помещено в словарь / хэш-таблицу, что делает проверку того, что этот класс симметрии уже оказался очень эффективным.