Как я могу умножить и разделить, используя только сдвиг и добавление битов?
Как я могу умножить и разделить, используя только сдвиг и добавление битов?
16 ответов
Чтобы умножить с точки зрения сложения и смещения, вы хотите разложить одно из чисел на степени двух, например:
21 * 5 = 10101_2 * 101_2 (Initial step)
= 10101_2 * (1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0)
= 10101_2 * 2^2 + 10101_2 * 2^0
= 10101_2 << 2 + 10101_2 << 0 (Decomposed)
= 10101_2 * 4 + 10101_2 * 1
= 10101_2 * 5
= 21 * 5 (Same as initial expression)
(_2 означает базу 2)
Как видите, умножение можно разложить на сложение, сдвиг и обратно. По этой же причине умножение занимает больше времени, чем сдвиги битов или сложение - это количество O(n^2), а не O(n) по количеству бит. Реальные компьютерные системы (в отличие от теоретических компьютерных систем) имеют конечное число битов, поэтому умножение занимает постоянное кратное время по сравнению с сложением и сдвигом. Если я правильно помню, современные процессоры, при правильной конвейеризации, могут умножать примерно так же быстро, как и сложение, путаясь с использованием ALU (арифметических единиц) в процессоре.
Ответ Андрея Тулузского можно распространить на деление.
Деление на целочисленные константы подробно рассмотрено в книге Генри С. Уоррена "Восторг Хакера" (ISBN 9780201914658).
Первая идея для реализации деления состоит в том, чтобы записать обратное значение знаменателя в базе два.
Например,1/3 = (base-2) 0.0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 .....
Так, a/3 = (a >> 2) + (a >> 4) + (a >> 6) + ... + (a >> 30) для 32-битной арифметики.
Объединяя термины очевидным образом, мы можем уменьшить количество операций:
b = (a >> 2) + (a >> 4)
b += (b >> 4)
b += (b >> 8)
b += (b >> 16)
Есть более интересные способы подсчета деления и остатков.
EDIT1:
Если OP означает умножение и деление произвольных чисел, а не деление на постоянное число, то этот поток может быть полезен: /questions/17540262/vyipolnenie-bitovogo-deleniya-bez-arifmeticheskih-operatorov/17540266#17540266
EDIT2:
Один из самых быстрых способов деления на целочисленные константы - использование модульной арифметики и сокращения Монтгомери. Какой самый быстрый способ делить целое число на 3?
X * 2 = сдвиг влево на 1 бит
X / 2 = 1 бит сдвиг вправо
X * 3 = сдвинуть влево на 1 бит, а затем добавить X
x << k == x multiplied by 2 to the power of kx >> k == x divided by 2 to the power of k
Вы можете использовать эти сдвиги для выполнения любой операции умножения. Например:
x * 14 == x * 16 - x * 2 == (x << 4) - (x << 1)x * 12 == x * 8 + x * 4 == (x << 3) + (x << 2)
Чтобы разделить число не степенью двойки, я не знаю простого способа, если только вы не хотите реализовать низкоуровневую логику, использовать другие двоичные операции и использовать некоторую форму итерации.
- Сдвиг влево на 1 позицию аналогичен умножению на 2. Правое смещение аналогично делению на 2.
- Вы можете добавить в цикл для умножения. Правильно выбрав переменную цикла и переменную сложения, вы можете связать производительность. После того, как вы это изучите, вы должны использовать умножение крестьян
Процедура деления целых чисел, в которой используются сдвиги и сложения, может быть получена прямым способом из десятичного деления на длинные, как преподаются в начальной школе. Выбор каждой факторной цифры упрощается, так как эта цифра равна 0 и 1: если текущий остаток больше или равен делителю, младший значащий бит частичного частного равен 1.
Как и в случае десятичного деления, цифры дивиденда считаются от самых значительных до наименее значимых, по одной цифре за раз. Это легко сделать с помощью левого сдвига в двоичном делении. Кроме того, частичные биты собираются путем сдвига влево текущих факторных битов на одну позицию, а затем добавления нового частного бита.
В классическом расположении эти два сдвига влево объединяются в сдвиг влево одной пары регистров. Верхняя половина содержит текущий остаток, нижняя половина - начальный дивиденд. Поскольку биты дивиденда передаются в регистр остатка с помощью сдвига влево, неиспользуемые младшие значащие биты младшей половины используются для накопления частичных битов.
Ниже представлен язык ассемблера x86 и реализации C этого алгоритма. Этот конкретный вариант деления сдвига и сложения иногда называют вариантом "бездействия", поскольку вычитание делителя из текущего остатка не выполняется, если остаток не больше или равен делителю. В C отсутствует понятие флага переноса, используемого версией сборки в сдвиге пары регистров слева. Вместо этого он эмулируется, основываясь на наблюдении, что результат сложения по модулю 2n может быть меньше, что либо добавляется, только если был результат.
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdint.h>
#define USE_ASM 0
#if USE_ASM
uint32_t bitwise_division (uint32_t dividend, uint32_t divisor)
{
uint32_t quot;
__asm {
mov eax, [dividend];// quot = dividend
mov ecx, [divisor]; // divisor
mov edx, 32; // bits_left
mov ebx, 0; // rem
$div_loop:
add eax, eax; // (rem:quot) << 1
adc ebx, ebx; // ...
cmp ebx, ecx; // rem >= divisor ?
jb $quot_bit_is_0; // if (rem < divisor)
$quot_bit_is_1: //
sub ebx, ecx; // rem = rem - divisor
add eax, 1; // quot++
$quot_bit_is_0:
dec edx; // bits_left--
jnz $div_loop; // while (bits_left)
mov [quot], eax; // quot
}
return quot;
}
#else
uint32_t bitwise_division (uint32_t dividend, uint32_t divisor)
{
uint32_t quot, rem, t;
int bits_left = CHAR_BIT * sizeof (uint32_t);
quot = dividend;
rem = 0;
do {
// (rem:quot) << 1
t = quot;
quot = quot + quot;
rem = rem + rem + (quot < t);
if (rem >= divisor) {
rem = rem - divisor;
quot = quot + 1;
}
bits_left--;
} while (bits_left);
return quot;
}
#endif
Я перевел код Python на C. В приведенном примере был небольшой недостаток. Если значение дивиденда, которое заняло все 32 бита, сдвиг завершится неудачей. Я просто использовал 64-битные переменные для решения проблемы:
int No_divide(int nDivisor, int nDividend, int *nRemainder)
{
int nQuotient = 0;
int nPos = -1;
unsigned long long ullDivisor = nDivisor;
unsigned long long ullDividend = nDividend;
while (ullDivisor < ullDividend)
{
ullDivisor <<= 1;
nPos ++;
}
ullDivisor >>= 1;
while (nPos > -1)
{
if (ullDividend >= ullDivisor)
{
nQuotient += (1 << nPos);
ullDividend -= ullDivisor;
}
ullDivisor >>= 1;
nPos -= 1;
}
*nRemainder = (int) ullDividend;
return nQuotient;
}
Возьмите два числа, скажем, 9 и 10, запишите их в двоичном виде - 1001 и 1010.
Начните с результата, R, 0.
Возьмите одно из чисел, в данном случае 1010, мы назовем его A, и сдвинем его вправо на один бит, если вы сдвинете одно, добавьте первое число, мы назовем его B, к R.
Теперь сдвиньте B влево на один бит и повторяйте, пока все биты не будут сдвинуты из A.
Проще увидеть, что происходит, если вы видите, что это написано, вот пример:
0
0000 0
10010 1
000000 0
1001000 1
------
1011010
Взято отсюда.
Это только для деления:
int add(int a, int b) {
int partialSum, carry;
do {
partialSum = a ^ b;
carry = (a & b) << 1;
a = partialSum;
b = carry;
} while (carry != 0);
return partialSum;
}
int subtract(int a, int b) {
return add(a, add(~b, 1));
}
int division(int dividend, int divisor) {
boolean negative = false;
if ((dividend & (1 << 31)) == (1 << 31)) { // Check for signed bit
negative = !negative;
dividend = add(~dividend, 1); // Negation
}
if ((divisor & (1 << 31)) == (1 << 31)) {
negative = !negative;
divisor = add(~divisor, 1); // Negation
}
int quotient = 0;
long r;
for (int i = 30; i >= 0; i = subtract(i, 1)) {
r = (divisor << i);
// Left shift divisor until it's smaller than dividend
if (r < Integer.MAX_VALUE && r >= 0) { // Avoid cases where comparison between long and int doesn't make sense
if (r <= dividend) {
quotient |= (1 << i);
dividend = subtract(dividend, (int) r);
}
}
}
if (negative) {
quotient = add(~quotient, 1);
}
return quotient;
}
Это в основном умножение и деление с базовой степенью 2
сдвиг влево = x * 2 ^ y
сдвиг вправо = x / 2 ^ y
shl eax,2 = 2 * 2 ^ 2 = 8
shr eax,3 = 2/2 ^ 3 = 1/4
Это должно работать для умножения:
.data
.text
.globl main
main:
# $4 * $5 = $2
addi $4, $0, 0x9
addi $5, $0, 0x6
add $2, $0, $0 # initialize product to zero
Loop:
beq $5, $0, Exit # if multiplier is 0,terminate loop
andi $3, $5, 1 # mask out the 0th bit in multiplier
beq $3, $0, Shift # if the bit is 0, skip add
addu $2, $2, $4 # add (shifted) multiplicand to product
Shift:
sll $4, $4, 1 # shift up the multiplicand 1 bit
srl $5, $5, 1 # shift down the multiplier 1 bit
j Loop # go for next
Exit: #
EXIT:
li $v0,10
syscall
Приведенный ниже метод представляет собой реализацию двоичного деления, учитывая, что оба числа положительные. Если вычитание является проблемой, мы можем реализовать это также с помощью бинарных операторов.
Код
-(int)binaryDivide:(int)numerator with:(int)denominator
{
if (numerator == 0 || denominator == 1) {
return numerator;
}
if (denominator == 0) {
#ifdef DEBUG
NSAssert(denominator==0, @"denominator should be greater then 0");
#endif
return INFINITY;
}
// if (numerator <0) {
// numerator = abs(numerator);
// }
int maxBitDenom = [self getMaxBit:denominator];
int maxBitNumerator = [self getMaxBit:numerator];
int msbNumber = [self getMSB:maxBitDenom ofNumber:numerator];
int qoutient = 0;
int subResult = 0;
int remainingBits = maxBitNumerator-maxBitDenom;
if (msbNumber >= denominator) {
qoutient |=1;
subResult = msbNumber - denominator;
}
else {
subResult = msbNumber;
}
while (remainingBits > 0) {
int msbBit = (numerator & (1 << (remainingBits-1)))>0?1:0;
subResult = (subResult << 1) | msbBit;
if(subResult >= denominator) {
subResult = subResult - denominator;
qoutient= (qoutient << 1) | 1;
}
else{
qoutient = qoutient << 1;
}
remainingBits--;
}
return qoutient;
}
-(int)getMaxBit:(int)inputNumber
{
int maxBit = 0;
BOOL isMaxBitSet = NO;
for (int i=0; i<sizeof(inputNumber)*8; i++) {
if (inputNumber & (1<<i)) {
maxBit = i;
isMaxBitSet=YES;
}
}
if (isMaxBitSet) {
maxBit+=1;
}
return maxBit;
}
-(int)getMSB:(int)bits ofNumber:(int)number
{
int numbeMaxBit = [self getMaxBit:number];
return number >> (numbeMaxBit - bits);
}
Для умножения:
-(int)multiplyNumber:(int)num1 withNumber:(int)num2
{
int mulResult = 0;
int ithBit;
BOOL isNegativeSign = (num1<0 && num2>0) || (num1>0 && num2<0);
num1 = abs(num1);
num2 = abs(num2);
for (int i=0; i<sizeof(num2)*8; i++)
{
ithBit = num2 & (1<<i);
if (ithBit>0) {
mulResult += (num1 << i);
}
}
if (isNegativeSign) {
mulResult = ((~mulResult)+1);
}
return mulResult;
}
Для всех, кто интересуется 16-битным решением x86, здесь есть фрагмент кода от JasonKnight 1 (он также включает в себя фрагмент с умножением со знаком, который я не тестировал). Однако этот код имеет проблемы с большими входами, где часть "add bx,bx" будет переполнена.
Фиксированная версия:
softwareMultiply:
; INPUT CX,BX
; OUTPUT DX:AX - 32 bits
; CLOBBERS BX,CX,DI
xor ax,ax ; cheap way to zero a reg
mov dx,ax ; 1 clock faster than xor
mov di,cx
or di,bx ; cheap way to test for zero on both regs
jz @done
mov di,ax ; DI used for reg,reg adc
@loop:
shr cx,1 ; divide by two, bottom bit moved to carry flag
jnc @skipAddToResult
add ax,bx
adc dx,di ; reg,reg is faster than reg,imm16
@skipAddToResult:
add bx,bx ; faster than shift or mul
adc di,di
or cx,cx ; fast zero check
jnz @loop
@done:
ret
Или то же самое в GCC встроенной сборке:
asm("mov $0,%%ax\n\t"
"mov $0,%%dx\n\t"
"mov %%cx,%%di\n\t"
"or %%bx,%%di\n\t"
"jz done\n\t"
"mov %%ax,%%di\n\t"
"loop:\n\t"
"shr $1,%%cx\n\t"
"jnc skipAddToResult\n\t"
"add %%bx,%%ax\n\t"
"adc %%di,%%dx\n\t"
"skipAddToResult:\n\t"
"add %%bx,%%bx\n\t"
"adc %%di,%%di\n\t"
"or %%cx,%%cx\n\t"
"jnz loop\n\t"
"done:\n\t"
: "=d" (dx), "=a" (ax)
: "b" (bx), "c" (cx)
: "ecx", "edi"
);
Вы можете преобразовать некоторые* операторы умножения/деления в операции сдвига битов, используя формулы:
x * y = x << log2(y)
x / y = x >> log2(y)
* Предполагаяyэто степень 2
Примеры:
4 * 16 = 4 << 4
2000 / 4 = 2000 >> 2
288 / 32 = 288 >> 5
Таким образом, чтобы получить биты, необходимые для деления переменной, требуется само деление.
это старший разряд/РАЗДЕЛИТЕЛЬ - это биты степеней, необходимые для смещения деления, и в конечном итоге это становится проблемой курицы и яйца.
Это немного странно, но->
Если вы умножите все остальные числа вашей системы, вы, по сути, разделите это число по сравнению с остальными.
затем просто переместите всю систему назад, если у вас есть заполнение нулями в младшем разряде.
Вот если вы терпеть не можете метод деления с условием в нем, если в вашем уравнении меньше 5 чисел, вы можете работать, это не так уж и плохо, но я знаю, что это пока не лучшее решение... но я продолжу мышление.
Попробуй это. https://gist.github.com/swguru/5219592
import sys
# implement divide operation without using built-in divide operator
def divAndMod_slow(y,x, debug=0):
r = 0
while y >= x:
r += 1
y -= x
return r,y
# implement divide operation without using built-in divide operator
def divAndMod(y,x, debug=0):
## find the highest position of positive bit of the ratio
pos = -1
while y >= x:
pos += 1
x <<= 1
x >>= 1
if debug: print "y=%d, x=%d, pos=%d" % (y,x,pos)
if pos == -1:
return 0, y
r = 0
while pos >= 0:
if y >= x:
r += (1 << pos)
y -= x
if debug: print "y=%d, x=%d, r=%d, pos=%d" % (y,x,r,pos)
x >>= 1
pos -= 1
return r, y
if __name__ =="__main__":
if len(sys.argv) == 3:
y = int(sys.argv[1])
x = int(sys.argv[2])
else:
y = 313271356
x = 7
print "=== Slow Version ...."
res = divAndMod_slow( y, x)
print "%d = %d * %d + %d" % (y, x, res[0], res[1])
print "=== Fast Version ...."
res = divAndMod( y, x, debug=1)
print "%d = %d * %d + %d" % (y, x, res[0], res[1])