Хитрый вопрос Google интервью
Мой друг берет интервью на работу. Один из вопросов на собеседовании заставил меня задуматься, просто хотелось получить обратную связь.
Есть 2 неотрицательных целых числа: i и j. Учитывая следующее уравнение, найдите (оптимальное) решение для итерации по i и j таким образом, чтобы выходные данные были отсортированы.
2^i * 5^j
Итак, первые несколько раундов будут выглядеть так:
2^0 * 5^0 = 1
2^1 * 5^0 = 2
2^2 * 5^0 = 4
2^0 * 5^1 = 5
2^3 * 5^0 = 8
2^1 * 5^1 = 10
2^4 * 5^0 = 16
2^2 * 5^1 = 20
2^0 * 5^2 = 25
Попробуйте, как я мог, я не вижу картины. Твои мысли?
21 ответ
Дейкстра получает красноречивое решение в "Дисциплине программирования". Он приписывает проблему Хэммингу. Вот моя реализация решения Дейкстры.
int main()
{
const int n = 20; // Generate the first n numbers
std::vector<int> v(n);
v[0] = 1;
int i2 = 0; // Index for 2
int i5 = 0; // Index for 5
int x2 = 2 * v[i2]; // Next two candidates
int x5 = 5 * v[i5];
for (int i = 1; i != n; ++i)
{
int m = std::min(x2, x5);
std::cout << m << " ";
v[i] = m;
if (x2 == m)
{
++i2;
x2 = 2 * v[i2];
}
if (x5 == m)
{
++i5;
x5 = 5 * v[i5];
}
}
std::cout << std::endl;
return 0;
}
Вот более изощренный способ сделать это (более изощренный, чем мой предыдущий ответ, то есть):
Представьте, что числа помещены в матрицу:
0 1 2 3 4 5 -- this is i
----------------------------------------------
0| 1 2 4 8 16 32
1| 5 10 20 40 80 160
2| 25 50 100 200 400 800
3| 125 250 500 1000 2000 ...
4| 625 1250 2500 5000 ...
j on the vertical
что вам нужно сделать, это "пройтись" по этой матрице, начиная с (0,0), Вы также должны отслеживать, каковы ваши возможные следующие шаги. Когда вы начинаете в (0,0) у вас есть только два варианта: либо (0,1) или же (1,0): поскольку значение (0,1) меньше, вы выбираете это. затем сделайте то же самое для вашего следующего выбора (0,2) или же (1,0), Пока у вас есть следующий список: 1, 2, 4, Ваш следующий ход (1,0) поскольку значение там меньше, чем (0,3), Тем не менее, теперь у вас есть три варианта для вашего следующего хода: либо (0,3), или же (1,1), или же (2,0),
Вам не нужна матрица, чтобы получить список, но вам нужно отслеживать все ваши варианты выбора (т. Е. Когда вы наберете 125+, у вас будет 4 варианта).
Используйте Мин-кучу.
Ставь 1.
экстракт-Мин. Скажем, вы получили х.
Нажмите 2x и 5x в кучу.
Повторение.
Вместо сохранения x = 2^i * 5^j вы можете сохранить (i,j) и использовать пользовательскую функцию сравнения.
Решение на основе FIFO требует меньшего объема памяти. Код Python
F = [[1, 0, 0]] # FIFO [value, i, j]
i2 = -1; n2 = n5 = None # indices, nexts
for i in range(1000): # print the first 1000
last = F[-1][:]
print "%3d. %21d = 2^%d * 5^%d" % tuple([i] + last)
if n2 <= last: i2 += 1; n2 = F[i2][:]; n2[0] *= 2; n2[1] += 1
if n5 <= last: i2 -= 1; n5 = F.pop(0); n5[0] *= 5; n5[2] += 1
F.append(min(n2, n5))
выход:
0. 1 = 2^0 * 5^0
1. 2 = 2^1 * 5^0
2. 4 = 2^2 * 5^0
...
998. 100000000000000000000 = 2^20 * 5^20
999. 102400000000000000000 = 2^27 * 5^17
Это очень легко сделать O(n) на функциональных языках. Список l из 2^i*5^j числа могут быть просто определены как 1 а потом 2*l а также 5*l слиты. Вот как это выглядит в Haskell:
merge :: [Integer] -> [Integer] -> [Integer]
merge (a:as) (b:bs)
| a < b = a : (merge as (b:bs))
| a == b = a : (merge as bs)
| b > a = b : (merge (a:as) bs)
xs :: [Integer]
xs = 1 : merge (map(2*)xs) (map(5*)xs)
merge Функция дает вам новое значение в постоянное время. Так же map и, следовательно, так и делает l,
Вы должны отслеживать их отдельные показатели, и каковы их суммы
так что вы начинаете с f(0,0) --> 1теперь вы должны увеличить один из них:
f(1,0) = 2
f(0,1) = 5
поэтому мы знаем, что следующим является 2 - мы также знаем, что можем увеличивать показатель i до тех пор, пока сумма не превысит 5.
Вы продолжаете идти вперед и назад, пока не достигнете нужного количества раундов.
Используя динамическое программирование, вы можете сделать это в O(n). Основная истина в том, что никакие значения i и j не могут дать нам 0, и чтобы получить 1, оба значения должны быть 0;
TwoCount[1] = 0
FiveCount[1] = 0
// function returns two values i, and j
FindIJ(x) {
if (TwoCount[x / 2]) {
i = TwoCount[x / 2] + 1
j = FiveCount[x / 2]
}
else if (FiveCount[x / 5]) {
i = TwoCount[x / 2]
j = FiveCount[x / 5] + 1
}
}
Всякий раз, когда вы вызываете эту функцию, проверьте, установлены ли i и j, если они не равны NULL, а затем заполните TwoCount а также FiveCount
C++ ответ. Извините за плохой стиль кодирования, но я тороплюсь:(
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
int * TwoCount;
int * FiveCount;
using namespace std;
void FindIJ(int x, int &i, int &j) {
if (x % 2 == 0 && TwoCount[x / 2] > -1) {
cout << "There's a solution for " << (x/2) << endl;
i = TwoCount[x / 2] + 1;
j = FiveCount[x / 2];
} else if (x % 5 == 0 && TwoCount[x / 5] > -1) {
cout << "There's a solution for " << (x/5) << endl;
i = TwoCount[x / 5];
j = FiveCount[x / 5] + 1;
}
}
int main() {
TwoCount = new int[200];
FiveCount = new int[200];
for (int i = 0; i < 200; ++i) {
TwoCount[i] = -1;
FiveCount[i] = -1;
}
TwoCount[1] = 0;
FiveCount[1] = 0;
for (int output = 2; output < 100; output++) {
int i = -1;
int j = -1;
FindIJ(output, i, j);
if (i > -1 && j > -1) {
cout << "2^" << i << " * " << "5^"
<< j << " = " << output << endl;
TwoCount[output] = i;
FiveCount[output] = j;
}
}
}
Очевидно, что вы можете использовать структуры данных, отличные от массива, для динамического увеличения хранилища и т. Д. Это всего лишь эскиз, чтобы доказать, что он работает.
Почему бы не попробовать посмотреть на это с другой стороны. Используйте счетчик, чтобы проверить возможные ответы по оригинальной формуле. Извините за псевдокод.
for x = 1 to n
{
i=j=0
y=x
while ( y > 1 )
{
z=y
if y divisible by 2 then increment i and divide y by 2
if y divisible by 5 then increment j and divide y by 5
if y=1 then print i,j & x // done calculating for this x
if z=y then exit while loop // didn't divide anything this loop and this x is no good
}
}
Это соответствующая запись в OEIS.
Кажется, возможно получить упорядоченную последовательность, генерируя первые несколько членов, скажем,
1 2 4 5
а затем, начиная со второго слагаемого, умножая на 4 и 5, чтобы получить следующие два
1 2 4 5 8 10
1 2 4 5 8 10 16 20
1 2 4 5 8 10 16 20 25
и так далее...
Интуитивно, это кажется правильным, но, конечно, доказательств не хватает.
Вы знаете, что log_2(5)=2,32. Из этого отметим, что 2^2 < 5 и 2^3 > 5.
Теперь посмотрите матрицу возможных ответов:
j/i 0 1 2 3 4 5
0 1 2 4 8 16 32
1 5 10 20 40 80 160
2 25 50 100 200 400 800
3 125 250 500 ...
Теперь, для этого примера, выберите номера по порядку. Там порядок будет:
j/i 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 5 7 10
1 4 6 8 11 14 18
2 9 12 15 19 23 27
3 16 20 24...
Обратите внимание, что каждая строка начинается на 2 столбца позади строки, начинающей ее. Например, i=0 j=1 наступает сразу после i=2 j=0.
Таким образом, алгоритм, который мы можем вывести из этого шаблона, (предположим, j>i):
int i = 2;
int j = 5;
int k;
int m;
int space = (int)(log((float)j)/log((float)i));
for(k = 0; k < space*10; k++)
{
for(m = 0; m < 10; m++)
{
int newi = k-space*m;
if(newi < 0)
break;
else if(newi > 10)
continue;
int result = pow((float)i,newi) * pow((float)j,m);
printf("%d^%d * %d^%d = %d\n", i, newi, j, m, result);
}
}
ПРИМЕЧАНИЕ. Код здесь ограничивает значения показателей степени i и j меньше 10. Вы можете легко расширить этот алгоритм, чтобы он соответствовал любым другим произвольным границам.
ПРИМЕЧАНИЕ. Время выполнения этого алгоритма составляет O(n) для первых n ответов.
ПРИМЕЧАНИЕ. Пространственная сложность этого алгоритма равна O(1).
Моя реализация основана на следующих идеях:
- Используйте две очереди Q2 и Q5, обе из которых инициализированы 1. Мы будем держать обе очереди в отсортированном порядке.
- На каждом шаге удаляйте наименьший элемент числа MIN из Q2 или Q5 и печатайте его. Если оба Q2 и Q5 имеют одинаковый элемент - удалите оба. Распечатайте этот номер. В основном это объединение двух отсортированных массивов - на каждом шаге выбирайте наименьший элемент и переходите вперед.
- Поставьте в очередь значения от MIN*2 до Q2 и от MIN*5 до Q5. Это изменение не нарушает сортируемый инвариант Q2/Q5, потому что MIN выше, чем предыдущий номер MIN.
Пример:
Start with 1 and 1 (to handle i=0;j=0 case):
Q2: 1
Q5: 1
Dequeue 1, print it and enqueue 1*2 and 1*5:
Q2: 2
Q5: 5
Pick 2 and add 2*2 and 2*5:
Q2: 4
Q5: 5 10
Pick 4 and add 4*2 and 4*5:
Q2: 8
Q5: 5 10 20
....
Код на Java:
public void printNumbers(int n) {
Queue<Integer> q2 = new LinkedList<Integer>();
Queue<Integer> q5 = new LinkedList<Integer>();
q2.add(1);
q5.add(1);
for (int i = 0; i < n; i++) {
int a = q2.peek();
int b = q5.peek();
int min = Math.min(a, b);
System.out.println(min);
if (min == a) {
q2.remove();
}
if (min == b) {
q5.remove();
}
q2.add(min * 2);
q5.add(min * 5);
}
}
Если вы идете по тому, что действительно происходит, когда мы увеличиваем I или J в выражении 2^i * 5^j, вы либо умножаете на другое 2, либо на другое 5. Если мы переформулируем проблему следующим образом - учитывая конкретное значение i и j, как бы вы нашли следующее большее значение, решение становится очевидным.
Вот правила, которые мы можем интуитивно перечислить:
- Если есть пара 2s (
i > 1) в выражении мы должны заменить их на 5, чтобы получить следующее наибольшее число. Таким образом,i -= 2а такжеj += 1, - В противном случае, если есть 5 (
j > 0), нам нужно заменить его на три 2. Такj -= 1а такжеi += 3, - В противном случае нам нужно просто предоставить еще 2, чтобы увеличить значение на минимум.
i += 1,
Вот программа на Ruby:
i = j = 0
20.times do
puts 2**i * 5**j
if i > 1
j += 1
i -= 2
elsif j > 0
j -= 1
i += 3
else
i += 1
end
end
Вот мое решение
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N_VALUE 5
#define M_VALUE 5
int n_val_at_m_level[M_VALUE];
int print_lower_level_val(long double val_of_higher_level, int m_level)
{
int n;
long double my_val;
for( n = n_val_at_m_level[m_level]; n <= N_VALUE; n++) {
my_val = powl(2,n) * powl(5,m_level);
if(m_level != M_VALUE && my_val > val_of_higher_level) {
n_val_at_m_level[m_level] = n;
return 0;
}
if( m_level != 0) {
print_lower_level_val(my_val, m_level - 1);
}
if(my_val < val_of_higher_level || m_level == M_VALUE) {
printf(" %Lf n=%d m = %d\n", my_val, n, m_level);
} else {
n_val_at_m_level[m_level] = n;
return 0;
}
}
n_val_at_m_level[m_level] = n;
return 0;
}
main()
{
print_lower_level_val(0, M_VALUE); /* to sort 2^n * 5^m */
}
Результат:
1.000000 n = 0 m = 0
2.000000 n = 1 m = 0
4.000000 n = 2 m = 0
5.000000 n = 0 m = 1
8.000000 n = 3 m = 0
10.000000 n = 1 m = 1
16.000000 n = 4 m = 0
20.000000 n = 2 m = 1
25.000000 n = 0 m = 2
32.000000 n = 5 m = 0
40.000000 n = 3 m = 1
50.000000 n = 1 m = 2
80.000000 n = 4 m = 1
100.000000 n = 2 m = 2
125.000000 n = 0 m = 3
160.000000 n = 5 m = 1
200.000000 n = 3 m = 2
250.000000 n = 1 m = 3
400.000000 n = 4 m = 2
500.000000 n = 2 m = 3
625.000000 n = 0 m = 4
800.000000 n = 5 m = 2
1000.000000 n = 3 m = 3
1250.000000 n = 1 m = 4
2000.000000 n = 4 m = 3
2500.000000 n = 2 m = 4
3125.000000 n = 0 m = 5
4000.000000 n = 5 m = 3
5000.000000 n = 3 m = 4
6250.000000 n = 1 m = 5
10000.000000 n = 4 m = 4
12500.000000 n = 2 m = 5
20000.000000 n = 5 m = 4
25000.000000 n = 3 m = 5
50000.000000 n = 4 m = 5
100000.000000 n = 5 m = 5
Если вы нарисуете матрицу с i в качестве строки и j в качестве столбца, вы сможете увидеть шаблон. Начните с i = 0, а затем просто пройдитесь по матрице, пройдя вверх на 2 строки и правый 1 столбец, пока не достигнете вершины матрицы (j >= 0). Тогда иди я + 1 и т.д...
Так что для i = 7 вы путешествуете так:
7, 0 -> 5, 1 -> 3, 2 -> 1, 3
И для я = 8:
8, 0 -> 6, 1 -> 4, 2 -> 2, 3 -> 0, 4
Здесь это происходит в Java до i = 9. Он печатает положение матрицы (i, j) и значение.
for(int k = 0; k < 10; k++) {
int j = 0;
for(int i = k; i >= 0; i -= 2) {
int value = (int)(Math.pow(2, i) * Math.pow(5, j));
System.out.println(i + ", " + j + " -> " + value);
j++;
}
}
Если нам разрешено использовать java Collection, то мы можем иметь эти числа в O(n^2)
public static void main(String[] args) throws Exception {
int powerLimit = 7;
int first = 2;
int second = 5;
SortedSet<Integer> set = new TreeSet<Integer>();
for (int i = 0; i < powerLimit; i++) {
for (int j = 0; j < powerLimit; j++) {
Integer x = (int) (Math.pow(first, i) * Math.pow(second, j));
set.add(x);
}
}
set=set.headSet((int)Math.pow(first, powerLimit));
for (int p : set)
System.out.println(p);
}
Здесь powerLimit должен быть инициализирован очень осторожно! В зависимости от того, сколько номеров вы хотите.
Просто было любопытно, чего ожидать на следующей неделе и нашли этот вопрос.
Я думаю, идея в том, что 2^i увеличивается не такими большими шагами, как 5^j. Так что увеличивайте i, пока следующий j-шаг не будет больше.
Пример на C++ (Qt не обязателен):
QFile f("out.txt"); //use output method of your choice here
f.open(QIODevice::WriteOnly);
QTextStream ts(&f);
int i=0;
int res=0;
for( int j=0; j<10; ++j )
{
int powI = std::pow(2.0,i );
int powJ = std::pow(5.0,j );
while ( powI <= powJ )
{
res = powI * powJ;
if ( res<0 )
break; //integer range overflow
ts<<i<<"\t"<<j<<"\t"<<res<<"\n";
++i;
powI = std::pow(2.0,i );
}
}
Выход:
i j 2^i * 5^j
0 0 1
1 1 10
2 1 20
3 2 200
4 2 400
5 3 4000
6 3 8000
7 4 80000
8 4 160000
9 4 320000
10 5 3200000
11 5 6400000
12 6 64000000
13 6 128000000
14 7 1280000000
Рассчитать результаты и поместить их в отсортированный список вместе со значениями для i а также j
Вот моя попытка со Scala:
case class IndexValue(twosIndex: Int, fivesIndex: Int)
case class OutputValues(twos: Int, fives: Int, value: Int) {
def test(): Boolean = {
Math.pow(2, twos) * Math.pow(5, fives) == value
}
}
def run(last: IndexValue = IndexValue(0, 0), list: List[OutputValues] = List(OutputValues(0, 0, 1))): List[OutputValues] = {
if (list.size > 20) {
return list
}
val twosValue = list(last.twosIndex).value * 2
val fivesValue = list(last.fivesIndex).value * 5
if (twosValue == fivesValue) {
val lastIndex = IndexValue(last.twosIndex + 1, last.fivesIndex + 1)
val outputValues = OutputValues(value = twosValue, twos = list(last.twosIndex).twos + 1, fives = list(last.fivesIndex).fives + 1)
run(lastIndex, list :+ outputValues)
} else if (twosValue < fivesValue) {
val lastIndex = IndexValue(last.twosIndex + 1, last.fivesIndex)
val outputValues = OutputValues(value = twosValue, twos = list(last.twosIndex).twos + 1, fives = list(last.twosIndex).fives)
run(lastIndex, list :+ outputValues)
} else {
val lastIndex = IndexValue(last.twosIndex, last.fivesIndex + 1)
val outputValues = OutputValues(value = fivesValue, twos = list(last.fivesIndex).twos, fives = list(last.fivesIndex).fives + 1)
run(lastIndex, list :+ outputValues)
}
}
val initialIndex = IndexValue(0, 0)
run(initialIndex, List(OutputValues(0, 0, 1))) foreach println
Выход:
OutputValues(0,0,1)
OutputValues(1,0,2)
OutputValues(2,0,4)
OutputValues(0,1,5)
OutputValues(3,0,8)
OutputValues(1,1,10)
OutputValues(4,0,16)
OutputValues(2,1,20)
OutputValues(0,2,25)
OutputValues(5,0,32)
OutputValues(3,1,40)
OutputValues(1,2,50)
OutputValues(6,0,64)
OutputValues(4,1,80)
OutputValues(2,2,100)
OutputValues(0,3,125)
OutputValues(7,0,128)
OutputValues(5,1,160)
OutputValues(3,2,200)
OutputValues(1,3,250)
OutputValues(8,0,256)
Алгоритм, реализованный пользователем515430 Эдсгером Дейкстрой (http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd07xx/EWD792.PDF), вероятно, работает настолько быстро, насколько вы можете этого добиться. Я звоню на каждый номер, который является формой 2^i * 5^j "специальный номер". Теперь ответ Владс будет O(i*j) но с двойным алгоритмом, один для генерации специальных чисел O(i*j) и один, чтобы отсортировать их (согласно связанной статье также O(i*j),
Но давайте проверим алгоритм Дейкстры (см. Ниже). В этом случае n количество генерируемых нами специальных чисел, равное i*j, Мы делаем петлю один раз, 1 -> n и в каждом цикле мы выполняем постоянное действие. Так что этот алгоритм также O(i*j), И с довольно яркой быстрой константой тоже.
Моя реализация в C++ с GMP (оболочка C++) и зависимость от boost::lexical_castхотя это можно легко удалить (я ленивый, а кто не использует Boost?). Составлено с g++ -O3 test.cpp -lgmpxx -o test, На Q6600 Ubuntu 10.10 time ./test 1000000 дает 1145ms,
#include <iostream>
#include <boost/lexical_cast.hpp>
#include <gmpxx.h>
int main(int argc, char *argv[]) {
mpz_class m, x2, x5, *array, r;
long n, i, i2, i5;
if (argc < 2) return 1;
n = boost::lexical_cast<long>(argv[1]);
array = new mpz_class[n];
array[0] = 1;
x2 = 2;
x5 = 5;
i2 = i5 = 0;
for (i = 1; i != n; ++i) {
m = std::min(x2, x5);
array[i] = m;
if (x2 == m) {
++i2;
x2 = 2 * array[i2];
}
if (x5 == m) {
++i5;
x5 = 5 * array[i5];
}
}
delete [] array;
std::cout << m << std::endl;
return 0;
}
Моя интуиция:
Если я беру начальное значение как 1, где i=0, j=0, то я могу создать следующие числа как (2 ^ 1)(5 ^ 0), (2 ^ 2)(5 ^ 0), (2 ^ 0) * (5 ^ 1),... т.е. 2,4,5..
Скажем, в любой момент мой номер х. тогда я могу создать следующие числа следующими способами:
- х * 2
- х * 4
- х * 5
Пояснение:
Since new numbers can only be the product with 2 or 5.
But 4 (pow(2,2)) is smaller than 5, and also we have to generate
Numbers in sorted order.Therefore we will consider next numbers
be multiplied with 2,4,5.
Why we have taken x*4 ? Reason is to pace up i, such that it should not
be greater than pace of j(which is 5 to power). It means I will
multiply my number by 2, then by 4(since 4 < 5), and then by 5
to get the next three numbers in sorted order.
Тестовый забег
We need to take an Array-list of Integers, let say Arr.
Also put our elements in Array List<Integers> Arr.
Initially it contains Arr : [1]
Давайте начнем с х = 1.
Следующие три числа: 1*2, 1*4, 1*5 [2,4,5]; Arr[1,2,4,5]
Теперь х = 2
Следующие три числа: [4,8,10] {Так как 4 уже произошло, мы его проигнорируем} [8,10]; Arr[1,2,4,5,8,10]
Теперь х =4
Следующие три числа [8,16,20] {8 уже произошло, игнорируйте его} [16,20] Arr[1,2,4,5,8,10,16,20]
х = 5
Следующие три числа [10,20,25] {10,20} уже так [25] добавляется Arr[1,2,4,5,8,10,16,20,25]
Условие прекращения
Terminating condition when Arr last number becomes greater
than (5^m1 * 2^m2), where m1,m2 are given by user.
Анализ
Time Complexity : O(K) : where k is numbers possible between i,j=0 to
i=m1,j=m2.
Space Complexity : O(K)
Я знаю, что, скорее всего, ошибаюсь, но здесь есть очень простая эвристика, поскольку она не включает много чисел, таких как 2,3,5. Мы знаем, что для любого i,j 2^i * 5^j следующая последовательность будет 2^(i-2) * 5^(j+1). Будучи Google q, у него должно быть простое решение.
def func(i, j):
print i, j, (2**i)*(5**j)
imax=i=2
j=0
print "i", "j", "(2**i)*(5**j)"
for k in range(20):
func(i,j)
j=j+1; i=i-2
if(i<0):
i = imax = imax+1
j=0
Это производит вывод как:
i j (2**i)*(5**j)
2 0 4
0 1 5
3 0 8
1 1 10
4 0 16
2 1 20
0 2 25
5 0 32
3 1 40
1 2 50
6 0 64
4 1 80
2 2 100
0 3 125
7 0 128
5 1 160
3 2 200
1 3 250
8 0 256
6 1 320