Инъективность наследника натуральных чисел в Coq

Question

Меня немного смущает, является ли инъективность функции-преемника, определенной на натуральных числах, Coq такое аксиома? Согласно аксиомам Википедии / Пеано, это аксиома (7). Когда я смотрю на страницу руководства Coq.Init.Peano, я вижу следующее:

Определение eq_add_S n m (H: S n = S m): n = m:= f_equal pred H.

Подсказка Немедленно eq_add_S: ядро.

и это похоже на аксиому (?), но меня смутило то, что в верхней части этой страницы было сказано:

В нем изложены различные леммы и теоремы о натуральных числах, включая аксиомы арифметики Пеано (в Coq это доказуемо)

Это предложение немного двусмысленно, нет?

Answer 1

Команда, которую вы видели, на самом деле является доказательством инъективности S конструктор. Точнее, он говорит, что функция-наследник является инъективной, потому что она имеет обратное значение: функция-предшественник (pred). (В Coq аксиомы обычно вводятся с ключевым словом Axiom.)

Вы, кажется, смущены тем, что я считаю двумя связанными значениями слова "аксиома". Более широкий смысл в логике - это "отправная точка рассуждения" ( Википедия). Более узкий смысл - это утверждение, которое считается само собой разумеющимся в дедуктивной системе без дополнительных доказательств. В арифметике Пеано аксиомы Пеано являются аксиомами в обоих смыслах слова, поскольку они примитивны. В Coq, теории множеств ZFC и других системах их можно доказать из более элементарных фактов.