Элементарные абелевы группы

Question

Я только что прочитал в Википедии об элементарных абелевых группах, которые, похоже, связаны с битовыми полями. Я был бы признателен, если бы кто-то мог объяснить мне этот конкретный абзац, так как я стараюсь полностью освоить битовые поля.

Answer 1

Группа Z/2Z это набор {0,1} вместе с бинарной операцией + это работает следующим образом:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0

В этом пункте автор ссылается на группу (Z/2Z)^n, который просто заказал nкортеж битов:

(b_1, b_2, ..., b_n)

где b_i = 0 или же 1и бинарная операция + берется по координатам так, чтобы

(b_1, b_2, ..., b_n) + (d_1, d_2, ..., d_n) = (b_1+d_1, b_2+d_2, ..., b_n+d_n)

где b_i+d_i делается как в Z/2Z,

Частичный порядок обозначен <= что обсуждается, это обычный порядок на Z/2Z дано

0 <= 1

0 <= 0
1 <= 1

Последние два рефлексивны. Этот заказ распространяется на (Z/2Z)^n по координатам, так что

(b_1, b_2, ..., b_n) <= (d_1, d_2, ..., d_n)

если и только если

b_i <= d_i for every i

Например, когда n=2, мы получаем следующие отношения:

(0,0) <= (0,0)
(0,0) <= (0,1)
(0,0) <= (1,0)
(0,0) <= (1,1)

(0,1) <= (0,1)
(0,1) <= (1,1)

(1,0) <= (1,0)
(1,0) <= (1,1)

(1,1) <= (1,1)

Заметить, что (1,0) а также (0,1) несопоставимы, что означает, что ни (0,1) <= (1,0) ни (1,0) <= (0,1),