Полиномиальная редукция: многочлен в терминах других многочленов?

Question

Рассмотрим каждую функцию ниже, такую ​​как f, f2, f3 и f4, с базисом I. Как мы можем выразить каждое f так, что f_i=\sum a_i I_i и каждый a_i\geq 0?

пример

Мы продемонстрируем полиномы ниже с помощью M2 и Mathematica.

Macaulay2:

i1 : R=RR[x1,x2,x3,MonomialOrder=>Lex]; 
f=x3-x1*x2;
f2=x3*x2-x1;
f3=x1-0.2;
f4=x1-x3+0.8;

i5 : I=ideal(x1-0.2,-x1+0.5,x2,-x2+1,x3-1,-x3+1); G=gb(I);

Мы можем выразить f3 с элементами I, а именно с нулевым термином

i11 : I_0==f3

o11 = true

Мы можем выразить F4 с I_5 и I_0

i17 : I_5+I_0==f4

o17 = true

Можем ли мы выразить F и F2 с I?

---

Mathematica: f и f-2 нельзя выразить в терминах I, но f-1 можно выразить в I, но в отрицательных терминах, поэтому нельзя использовать теорему Гендельмана для него.

но

• f-2 не является неотрицательным (выберите x3=1,x1=2, поэтому 1-0-2 = -1<0)

• f неотрицателен (x3=1, поэтому 1-x1x2>0) и

• f-1 не является неотрицательным (x3=1,x2>0, поэтому -x1x2<0).

и по теореме Гендельмана все вычисления неубедительны, потому что третий член -x1 отрицателен. Подробнее об аспектах Mathematica здесь.

Как мы можем выразить многочлен в терминах других многочленов, и каждый фактор-член положителен, как PolynomialReduce в Mathematica, но каждый фактор-член положителен?

Answer 1

Обратите внимание, что в этом ответе я использую вашу терминологию, в которой R - кольцо многочленов, а RR - кольцо действительных чисел. Я должен также сказать, что почти никогда не используйте кольцо RR, поскольку вычисления в macaulay2 над действительными числами не всегда надежны, всегда используйте кольцо рациональных чисел QQ или поле положительной характеристики, такое как QQ/(101).

Твой f а также f2 полиномы не являются линейными, поэтому вы не можете даже записать их как линейную комбинацию I_0,...,I_5 (т.е. генераторы I). Кроме того, идеальныйIкак вы определили, он содержит скаляр, поэтому математики называют его идеальной единицей. Это означаетI=R, то есть все кольцо многочленов. Так что вы можете написатьf а также f2 как комбинация I_0,...,I_5но не линейный. Это означает, чтоf = \sum g_i I_i с g_i полиномы, в которых хотя бы один из них не является числом.

Замечание. Для произвольного кольца R элементы обычно называют скалярами, но когдаR кольцо многочленов, скажем R=RR[x_1,...x_n]тогда обычно постоянные многочлены (которые в точности являются действительными числами, т.е. элементами RR) называются скалярами. Это просто распространенная и, конечно, запутанная терминология.

Вот пример,

i2 : R=QQ[x_1,x_2]

o2 = R

o2 : PolynomialRing

i3 : I=ideal(x_1-1,x_2,x_1+1)

o3 = ideal (x  - 1, x , x  + 1)
             1       2   1

o3 : Ideal of R

i4 : I == R

o4 = true

i5 : J = ideal(x_1,x_2)

o5 = ideal (x , x )
             1   2

o5 : Ideal of R

i6 : J == R

o6 = false

Вы видите, что идеал I имеет x_1-1,x_2,x_1+1 так что элемент (x_1+1)-(x_1-1) = 2 также принадлежит I, так I имеет постоянный многочлен, который является единичным элементом (единичный элемент в кольце - это элемент, имеющий инверсию), из чего следует, что I=R. Для подтверждения этого факта посетите https://math.stackexchange.com/questions/552173/if-an-ideal-contains-the-unit-then-it-is-the-whole-ring

С другой стороны J не имеет постоянного полинома, поэтому J это не все кольцо R.