Матрица сдвига как комбинация базовых преобразований?

Question

Я знаю матрицы преобразования для вращения, масштабирования, перемещения и т. Д. Я также знаю матрицу для преобразования сдвига. Теперь мне нужно иметь матрицу сдвига

[1 Sx 0]
[0 1  0]
[0 0  1]

в виде комбинации других вышеперечисленных преобразований. Пробовал поиск, пробовал мозговой штурм, но не смог нанести удар! Спасибо!

Answer 1

Операция x-shear для угла сдвига thetaсводится к поворотам и масштабированию следующим образом:

(а) повернуть на theta/2 против часовой стрелки.

(б) Шкала с x-scaling factor = sin(theta/2) а также y-scaling factor = cos(theta/2),

(c) Повернуть на 45 degree по часовой стрелке.

(d) Шкала с x-scaling factor = sqrt(2)/sin(theta), а также y-scaling factor= sqrt(2),

Answer 2

Да, это может быть сделано, вращение с последующим неравномерным масштабированием и обратным вращением. Вы можете найти подробности здесь в третьем вопросе http://www.cs.cmu.edu/~djames/15-462/Fall03/assts/15-462-Fall03-wrAssign1-answer.pdf. Вы также можете попробовать следующий код openGL. Он поворачивает прямоугольник на 45 градусов, затем масштабируется по оси X. а затем вращается в -26 градусов, то есть атан (0,5). 0,5 получается из определения угла между осью X и одной стороной после масштабирования в направлении X.

glRotatef (-26,0, 0,0, 0,0, 1,0);

glScalef (2,1,1);

glRotatef (45,0, 0,0, 0,0, 1,0);

glRectf (0, 0, 25,0, 25,0);

Answer 3

В 3D-графике мы часто используем 4 Икс 4 Матрица с 16 полезными элементами. Личность 4 Икс 4 Матрица выглядит следующим образом:

Между этими шестнадцатью элементами имеется 6 различных коэффициентов сдвига:

shear XY
shear XZ
shear YX
shear YZ
shear ZX
shear ZY

В матрице сдвига они следующие:

Потому что нет Rotation coefficients Всего в этой Матрице шесть Shear coefficients вместе с тремя Scale coefficients позволяют вращать 3D-объекты о X, Y, а также Z ось с использованием магической тригонометрии (sin а также cos).

Вот пример того, как вращать 3D-объект (CCW) о его Z ось с использованием элементов Shear и Scale:

Посмотрите на 3 различных шаблона вращения, используя элементы Shear и Scale:

Answer 4

Ножницы - это элементарная матричная операция, поэтому, хотя вы можете выразить их как "комбинацию других матричных операций", это действительно странно. Ножницы принимают две формы:

| 1 V |    | 1 0 |
| 0 1 | ,  | V 1 |

Принимая во внимание, что матрица вращения намного более вовлечена; Идея выразить сдвиг с помощью поворотов предполагает, что вы еще не написали эти вещи, чтобы увидеть, что вам нужно, поэтому давайте посмотрим на это. Матрица вращения имеет вид:

| cos -sin |
| sin  cos |

Который может быть составлен в виде последовательности из трех конкретных матриц сдвига, R = Sx x Sy x Sx:

| cos(a) -sin(a) |   |     1      0 |   | 1  sin(a) |   |     1      0 |
|                | = |              | x |           | x |              |
| sin(a)  cos(a) |   | -tan(a/2)  1 |   | 0    1    |   | -tan(a/2)  1 |

Теперь мы можем сделать несколько простых манипуляций с матрицей, чтобы получить Sy. Первое левое умножение:

      R = Sx x Sy x Sx
Sx⁻¹ x R = Sx⁻¹ x Sy x Sx
Sx⁻¹ x R = I x Sy x Sx
Sx⁻¹ x R = Sy x Sx

А затем вправо - умножьте:

Sx⁻¹ x R x Sx⁻¹ = Sy x Sx x Sx⁻¹
Sx⁻¹ x R x Sx⁻¹ = Sy x I
Sx⁻¹ x R x Sx⁻¹ = Sy

Как банальное переписывание, один сдвиг теперь два сдвига и вращение.

Но гораздо более важный вопрос: зачем вам выражать матрицу сдвига как-то еще? Это уже элементарная матричная форма, в какой странной вычислительной среде вы находитесь, или какую безумную вещь вы пытаетесь сделать, требующую от вас выразить элементарное преобразование как способ более сложный, более медленный для вычисления? знак равно