Преобразовать число с плавающей запятой в двоичный формат вручную

Question

Привет у меня есть следующее значение с плавающей точкой в ​​базе 10: 0,625. Мне нужно преобразовать это значение в базе 10 в двоичный формат, который: 0,101. Алгоритм, который я нашел ниже. Это работает, но я не понимаю, почему это работает. Может кто-нибудь объяснить, почему код ниже работает? Я знаю, что числа после десятичной точки вычисляются таким образом, что 1/2^n, где n - это счет от десятичной точки. Благодарю.

Чтобы уточнить, мне нужно знать обоснование математической формулы. Не переступая через код.

private static String floatToBinaryString( double n ) {
    String val = "0.";
    while ( n > 0 ) {
        double r = n * 2;
        if( r >= 1 ) {
            val += "1";
            n = r - 1;
        }else{
            val += "0";
            n = r;
        }
    }
    return val;
}

Answer 1

Вы умножаете дробь на 2 и используете двоичную цифру в качестве двоичных значений, пока дробь не станет равной нулю. Пример ниже.

Это стандартная формула для конвертации с использованием 0,625:

1) Multiply fraction by 2 =>  0.625 * 2 = 1.25
    The digit to the left of the decimal point is the first binary value, 0.1 so far
2) Ignore the ones-place digit and you have 0.25 which is still larger than zero.
    Multiply the fraction by 2 => 0.25 * 2 = 0.50
    The digit to the left of the decimal point is the next binary value, 0.10 so far
3) Ignore the ones-place digit and you have 0.50 which is less than zero.
    Multiply the fraction by 2 => 0.5 * 2 = 1.00
    The digit to the left of the decimal point is the next binary value, 0.101 so far
4) Ignore the ones-place digit and you have 0.00 which is equal to zero.
    Conversion complete!

private static String floatToBinaryString( double n ) {
    String val = "0.";    // Setting up string for result
    while ( n > 0 ) {     // While the fraction is greater than zero (not equal or less than zero)
        double r = n * 2;   // Multiply current fraction (n) by 2
        if( r >= 1 ) {      // If the ones-place digit >= 1
            val += "1";       // Concat a "1" to the end of the result string (val)
            n = r - 1;        // Remove the 1 from the current fraction (n)
        }else{              // If the ones-place digit == 0
            val += "0";       // Concat a "0" to the end of the result string (val)
            n = r;            // Set the current fraction (n) to the new fraction
        }
    }
    return val;          // return the string result with all appended binary values
}