Решение бигармонического уравнения в математике

Я пытаюсь решить линейное бигармоническое уравнение в математике с помощью DSolve. Я думаю, что эта проблема не ограничивается только бигармоническим уравнением, но MATHEMATICA просто выплевывает это уравнение, когда я пытаюсь его решить.

Я пытался решить другие уравнения в частных производных, и не было никаких проблем.

Бигармоническое уравнение просто:

Laplacian^2[f]=0

Вот мое уравнение:

DSolve[
 D[f[x, y], {x, 4}] + 2 D[D[f[x, y], {x, 2}, {y, 2}]] + 
   D[f[x, y], {y, 4}] == 0,
 f,
 {x, y}]

Решение выкладывается как

DSolve[(f^(0,4))[x,y]+2 (f^(2,2))[x,y]+(f^(4,0))[x,y]==0,f,{x,y}]

Это явно не решение. Что дает? Что мне не хватает? Я решил другие PDE без граничных условий.

Источник

2 ответа

Решение

Как насчет попробовать это в полярных координатах? Если f(r, \[Theta]) симметричен относительно азимута \[Theta]Бигармоническое уравнение сводится к тому, что Mathematca может решить символически (см. http://mathworld.wolfram.com/BiharmonicEquation.html):

In[22]:= eq = D[r D[D[r D[f[r],r],r]/r,r],r]/r;
eq//FullSimplify//TraditionalForm

Out[23]//TraditionalForm= f^(4)(r) + (2 r^2 f^(3)(r) - r f''(r)
                           + f'(r))/r^3

In[24]:= DSolve[eq==0,f,r]
Out[24]= {{f -> Function[{r}, 
                 1/2 r^2 C[2] - 1/4 r^2 C[3] + C[4] + C[1] Log[r] 
                   + 1/2 r^2 C[3] Log[r]
                ]}}

In[25]:= ReplaceAll[
    1/2 r^2 C[2]-1/4 r^2 C[3]+C[4]+C[1] Log[r]+1/2 r^2 C[3] Log[r],
    r->Sqrt[x^2+y^2]
]
Out[25]= 1/2 (x^2+y^2) C[2]-1/4 (x^2+y^2) C[3]+C[4]+C[1] Log[Sqrt[x^2+y^2]]+ 
1/2 (x^2+y^2) C[3] Log[Sqrt[x^2+y^2]]
Источник

DSolve[D[f[x, y], {x, 4}] + 2 D[f[x, y], {x, 2}, {y, 2}] + D[f[x, y], {у, 4}] == 0, е, {х, у}]

Это должен быть фактический синтаксис

Источник
Другие вопросы по тегам