Вычислить изменение базисной матрицы в Matlab

Question

У меня есть задание, в котором мне нужно создать функцию, которая, учитывая два базиса (которые я представляю как матрицу векторов), должна возвращать изменение базисной матрицы от одного базиса к другому.

Пока что это функция, которую я придумал, основываясь на алгоритме, который я объясню ниже:

function C = cob(A, B)
% Returns C, which is the change of basis matrix from A to B,
% that is, given basis A and B, we represent B in terms of A.
% Assumes that A and B are square matrices

n = size(A, 1);

% Creates a square matrix full of zeros 
% of the same size as the number of rows of A.
C = zeros(n);

for i=1:n
    C(i, :) = (A\B(:, i))';
end

end

И вот мои тесты:

clc
clear out

S = eye(3);
B = [1 0 0; 0 1 0; 2 1 1];
D = B;

disp(cob(S, B));  %  Returns cob matrix from S to B.
disp(cob(B, D));
disp(cob(S, D));

Вот алгоритм, который я использовал на основе некоторых заметок. В принципе, если у меня есть две основы B = {b1, ... , bn} а также D = {d1, ... , dn} для определенного векторного пространства, и я хочу представить базу D с точки зрения основы BМне нужно найти изменение базисной матрицы S, Векторы этих оснований связаны в следующем виде:

(d1 ... dn)^T = S * (b1, ... , bn)^T

Или, разделив все строки:

  d1 = s11 * b1 + s12 * b2 + ... + s1n * bn
  d2 = s21 * b1 + s22 * b2 + ... + s2n * bn
  ...
  dn = sn1 * b1 + sn2 * b2 + ... + snn * bn

Обратите внимание, что d1, b1, d2, b2и т. д., все векторы столбцов. Это может быть далее представлено как

  d1 = [b1 b2 ... bn] * [s11; s12; ... s1n];
  d2 = [b1 b2 ... bn] * [s21; s22; ... s2n];
  ...
  dn = [b1 b2 ... bn] * [sn1; sn2; ... s1n];

Позволяет назвать матрицу [b1 b2 ... bn], чьи столбцы являются векторами столбцов B, Aитак имеем:

  d1 = A * [s11; s12; ... s1n];
  d2 = A * [s21; s22; ... s2n];
  ...
  dn = A * [sn1; sn2; ... s1n];

Обратите внимание, что сейчас нам нужно найти все записи sij за i=1...n а также j=1...n, Мы можем сделать это, умножив влево обе стороны на обратное Aт.е. A^(-1),

Так, S может выглядеть примерно так

S = [s11 s12 ... s1n;  
     s21 s22 ... s2n; 
     ...
     sn1 sn2 ... snn;]

Если эта идея верна, найти изменение базисной матрицы S от B в D это действительно то, что я делаю в коде.

Моя идея верна? Если нет, то что не так? Если да, могу ли я улучшить это?

Answer 1

Все становится намного проще, когда человек имеет интуитивное понимание алгоритма.

Здесь нужно понять два ключевых момента:

1. C(B,B) является единичной матрицей (т.е. ничего не делать, чтобы изменить B в B)
2. C(E,D)C(B,E) = C(B,D) думать об этом как B -> E -> D = B -> D

Прямое следствие 1 и 2

3. C(E,D)C(D,E) = C(D,D), единичная матрица

другими словами

• C(E,D) = C(D,E)^-1

Подводя итоги. Алгоритм расчета матрицы C(B,D) изменить с B в D:

1. определять C(B,E) = [b1, ..., bn] (векторы столбцов)
2. определять C(D,E) = [d1, ..., dn] (векторы столбцов)
3. вычисление C(E,D) как обратное C(D,E),
4. вычисление C(B,D) как продукт C(E,D)C(B,E),

пример

B = {(1,2), (3,4)}
D = {(1,1), (1,-1)}

C(B,E) = | 1  3 |
         | 2  4 |

C(D,E) = | 1  1 |
         | 1 -1 |

C(E,D) = | .5  .5 |
         | .5 -.5 |

C(B,D) = | .5  .5 | | 1 3 | = | 1.5  3.5 |
         | .5 -.5 | | 2 4 |   | -.5  -.5 |

верификация

1.5 d1 + -.5 d2 = 1.5(1,1) + -.5(1,-1) = (1,2) = b1
3.5 d1 + -.5 d2 = 3.5(1,1) + -.5(1,-1) = (3,4) = b2

который показывает, что столбцы C(B,D) на самом деле координаты b1 а также b2 в основании D,