Эффективный способ вычисления матрицы Вандермонда
Я рассчитываю Vandermonde matrixдля довольно большого 1D массива. Естественный и чистый способ сделать это - использовать np.vander(), Однако я обнаружил, что это ок. В 2,5 раза медленнее, чем подход, основанный на понимании списка.
In [43]: x = np.arange(5000)
In [44]: N = 4
In [45]: %timeit np.vander(x, N, increasing=True)
155 µs ± 205 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)
# one of the listed approaches from the documentation
In [46]: %timeit np.flip(np.column_stack([x**(N-1-i) for i in range(N)]), axis=1)
65.3 µs ± 235 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)
In [47]: np.all(np.vander(x, N, increasing=True) == np.flip(np.column_stack([x**(N-1-i) for i in range(N)]), axis=1))
Out[47]: True
Я пытаюсь понять, где узкое место и причина, почему реализация родного np.vander() примерно в 2,5 раза медленнее.
Эффективность имеет значение для моей реализации. Так что, более быстрые альтернативы также приветствуются!
2 ответа
Вот еще несколько методов, некоторые из которых намного быстрее (на моем компьютере), чем те, которые были опубликованы до сих пор.
Самое важное наблюдение, которое я считаю, заключается в том, что оно действительно сильно зависит от того, сколько градусов вы хотите получить. Возведение в степень (которое, как мне кажется, специально для малых целочисленных показателей) имеет смысл только для небольших диапазонов показателей. Чем больше показателей, тем лучше подходы, основанные на умножении.
Я хотел бы выделить multiply.accumulate основанный метод (ma), который похож на встроенный подход Numpy, но быстрее (и не потому, что я экономил на проверках - nncNumpy-No-Checks демонстрирует это). Для всех, кроме самых маленьких диапазонов показателей, это на самом деле самый быстрый для меня.
По причинам, которые я не понимаю, реализация numpy делает три вещи, которые, насколько мне известно, медленные и ненужные: (1) Она создает довольно много копий базового вектора. (2) Это делает их несмежными. (3) Это делает накопление на месте, которое, я считаю, заставляет буферизовать.
Еще одна вещь, которую я хотел бы отметить, это то, что самый быстрый для небольших диапазонов (out_e_1 по сути, ручная версия ma), более чем в два раза замедляется простой предосторожностью повышения до dtype (safe_e_1 возможно, немного неправильный).
Методы вещания называются bc_* где * указывает широковещательную ось (b для базы, e для exp) 'cheat' означает, что результат не является непрерывным.
Время (лучшее из 3):
rep=100 n_b=5000 n_e=4 b_tp=<class 'numpy.int32'> e_tp=<class 'numpy.int32'>
vander 0.16699657 ms
bc_b 0.09595204 ms
bc_e 0.07959786 ms
ma 0.10755240 ms
nnc 0.16459018 ms
out_e_1 0.02037535 ms
out_e_2 0.02656622 ms
safe_e_1 0.04652272 ms
safe_e_2 0.04081079 ms
cheat bc_e_cheat 0.04668466 ms
rep=100 n_b=5000 n_e=8 b_tp=<class 'numpy.int32'> e_tp=<class 'numpy.int32'>
vander 0.25086462 ms
bc_b apparently failed
bc_e apparently failed
ma 0.15843041 ms
nnc 0.24713077 ms
out_e_1 apparently failed
out_e_2 apparently failed
safe_e_1 0.15970622 ms
safe_e_2 0.19672418 ms
bc_e_cheat apparently failed
rep=100 n_b=5000 n_e=4 b_tp=<class 'float'> e_tp=<class 'numpy.int32'>
vander 0.16225773 ms
bc_b 0.53315020 ms
bc_e 0.56200830 ms
ma 0.07626799 ms
nnc 0.16059748 ms
out_e_1 0.03653416 ms
out_e_2 0.04043702 ms
safe_e_1 0.04060494 ms
safe_e_2 0.04104209 ms
cheat bc_e_cheat 0.52966076 ms
rep=100 n_b=5000 n_e=8 b_tp=<class 'float'> e_tp=<class 'numpy.int32'>
vander 0.24542852 ms
bc_b 2.03353578 ms
bc_e 2.04281270 ms
ma 0.11075758 ms
nnc 0.24212880 ms
out_e_1 0.14809043 ms
out_e_2 0.19261359 ms
safe_e_1 0.15206112 ms
safe_e_2 0.19308420 ms
cheat bc_e_cheat 1.99176601 ms
Код:
import numpy as np
import types
from timeit import repeat
prom={np.dtype(np.int32): np.dtype(np.int64), np.dtype(float): np.dtype(float)}
def RI(k, N, dt, top=100):
return np.random.randint(0, top if top else N, (k, N)).astype(dt)
def RA(k, N, dt, top=None):
return np.add.outer(np.zeros((k,), int), np.arange(N)%(top if top else N)).astype(dt)
def RU(k, N, dt, top=100):
return (np.random.random((k, N))*(top if top else N)).astype(dt)
def data(k, N_b, N_e, dt_b, dt_e, b_fun=RI, e_fun=RA):
b = list(b_fun(k, N_b, dt_b))
e = list(e_fun(k, N_e, dt_e))
return b, e
def f_vander(b, e):
return np.vander(b, len(e), increasing=True)
def f_bc_b(b, e):
return b[:, None]**e
def f_bc_e(b, e):
return np.ascontiguousarray((b**e[:, None]).T)
def f_ma(b, e):
out = np.empty((len(b), len(e)), prom[b.dtype])
out[:, 0] = 1
np.multiply.accumulate(np.broadcast_to(b, (len(e)-1, len(b))), axis=0, out=out[:, 1:].T)
return out
def f_nnc(b, e):
out = np.empty((len(b), len(e)), prom[b.dtype])
out[:, 0] = 1
out[:, 1:] = b[:, None]
np.multiply.accumulate(out[:, 1:], out=out[:, 1:], axis=1)
return out
def f_out_e_1(b, e):
out = np.empty((len(b), len(e)), b.dtype)
out[:, 0] = 1
out[:, 1] = b
out[:, 2] = c = b*b
for i in range(3, len(e)):
c*=b
out[:, i] = c
return out
def f_out_e_2(b, e):
out = np.empty((len(b), len(e)), b.dtype)
out[:, 0] = 1
out[:, 1] = b
out[:, 2] = b*b
for i in range(3, len(e)):
out[:, i] = out[:, i-1] * b
return out
def f_safe_e_1(b, e):
out = np.empty((len(b), len(e)), prom[b.dtype])
out[:, 0] = 1
out[:, 1] = b
out[:, 2] = c = (b*b).astype(prom[b.dtype])
for i in range(3, len(e)):
c*=b
out[:, i] = c
return out
def f_safe_e_2(b, e):
out = np.empty((len(b), len(e)), prom[b.dtype])
out[:, 0] = 1
out[:, 1] = b
out[:, 2] = b*b
for i in range(3, len(e)):
out[:, i] = out[:, i-1] * b
return out
def f_bc_e_cheat(b, e):
return (b**e[:, None]).T
for params in [(100, 5000, 4, np.int32, np.int32),
(100, 5000, 8, np.int32, np.int32),
(100, 5000, 4, float, np.int32),
(100, 5000, 8, float, np.int32)]:
k = params[0]
dat = data(*params)
ref = f_vander(dat[0][0], dat[1][0])
print('rep={} n_b={} n_e={} b_tp={} e_tp={}'.format(*params))
for name, func in list(globals().items()):
if not name.startswith('f_') or not isinstance(func, types.FunctionType):
continue
try:
assert np.allclose(ref, func(dat[0][0], dat[1][0]))
if not func(dat[0][0], dat[1][0]).flags.c_contiguous:
print('cheat', end=' ')
print("{:16s}{:16.8f} ms".format(name[2:], np.min(repeat(
'f(b.pop(), e.pop())', setup='b, e = data(*p)', globals={'f':func, 'data':data, 'p':params}, number=k)) * 1000 / k))
except:
print("{:16s} apparently failed".format(name[2:]))
Как насчет транслируемого возведения в степень?
%timeit (x ** np.arange(N)[:, None]).T
43 µs ± 348 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)
Санитарная проверка -
np.all((x ** np.arange(N)[:, None]).T == np.vander(x, N, increasing=True))
True
Предостережение заключается в том, что это ускорение возможно только в том случае, если ваш входной массив x имеет dtype из int, Как отметил @Warren Weckesser в комментарии, широковещательное возведение в степень замедляется для массивов с плавающей запятой.
Почему np.vander медленно, взгляните на исходный код -
x = asarray(x)
if x.ndim != 1:
raise ValueError("x must be a one-dimensional array or sequence.")
if N is None:
N = len(x)
v = empty((len(x), N), dtype=promote_types(x.dtype, int))
tmp = v[:, ::-1] if not increasing else v
if N > 0:
tmp[:, 0] = 1
if N > 1:
tmp[:, 1:] = x[:, None]
multiply.accumulate(tmp[:, 1:], out=tmp[:, 1:], axis=1)
return v
Функция должна обслуживать гораздо больше вариантов использования, кроме вашего, поэтому она использует более обобщенный метод вычислений, который является надежным, но более медленным (я специально указываю на multiply.accumulate).
Интересно, что я нашел другой способ вычисления матрицы Вандермонда, заканчивающийся этим:
%timeit x[:, None] ** np.arange(N)
150 µs ± 230 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)
Он делает то же самое, но намного медленнее. Ответ заключается в том, что операции транслируются, но неэффективно.
С другой стороны, для float массивы, это на самом деле в конечном итоге выполняет лучшие.