Как симметрично сопоставить набор данных в [0,1]^d биективным способом

Question

Предположим, у меня есть набор данных в [0,1]^d, который я хочу симметрировать в том смысле, что функция перераспределения "симметризованных" данных, F, должна содержать следующее утверждение:

Например, если d=2, функция перераспределения должна быть симметричной относительно первой биссектрисы:

Преобразование должно быть построено из данных. Если вы хотите, чтобы с некоторыми (тривариативными) данными пытались работать, вы можете запустить следующий код R (сначала необходимо установить связку пакетов):

library(copula)
source(system.file("Rsource", "AC-Liouville.R", package="copula"))
U <- rLiouville(n=1000, alpha=c(1, 10,20), theta=0.6, Rdist="Gamma")
pairs(U)

Кроме того, я хотел бы, чтобы это преобразование было биективным, чтобы оно могло вписаться.

Основная проблема заключается в следующем: у меня есть подходящий алгоритм для симметричных наборов данных, и я хочу расширить его до несимметричных с помощью этого преобразования, что я не могу написать правильно...

Идеи? Спасибо:)

Answer 1

Мы можем симметризовать функцию, взяв среднее по всем перестановкам ее аргументов. Хотя вопрос задали для биективного преобразования, которое невозможно сделать, поскольку проекция теряет информацию.

Вот FunSym вводит скалярную функцию Fun и выводит симметризованную функцию.

library(combinat)

FunSym <- function(Fun) {
  function(...) mean(unlist(permn(list(...), do.call, what = Fun)))
}

Fun <- function(x, y) x - y  # test function
FunS <- FunSym(Fun)  # FunS is Fun symmetrized
FunS(1,2) # run FunS for particular arguments
## [1] 0

Если бы мы знали, что Fun было 2 аргумента, тогда мы могли бы написать проще:

FunSym2 <- function(Fun) {
  function(x, y) (Fun(x,y) + Fun(y,x))/2
}

FunS2 <- FunSym2(Fun)  # FunS is Fun symmetrized
FunS2(1,2) # run FunS for particular arguments
## [1] 0

Если Fun были оценены вектором, мы могли бы изменить FunSym как это:

FunSymV <- function(Fun) {
  function(...) rowMeans(simplify2array(permn(list(...), do.call, what = Fun)))
}

# test
FunSymV(Fun)(1:3, 4:6)
## [1] 0 0 0