В Maxima, как я могу выразить повторение полиномов Эрмита?

Question

Я пытаюсь рассказать максимам о рекуррентном отношении для полиномов Эрмита:

Мое первое выражение таково:

phi[0]:exp(-1/2*x^2);

phi[1]:sqrt(2)*x*phi[0];

wxplot2d([phi[0],phi[1]], [x,-5,5]);

Пока все хорошо, но я бы хотел сейчас определить все остальные:

phi[n]:sqrt(2/n)*x*phi[n-1] - sqrt((n-1)/n)*phi[n-2];

Это просто бомбы (переполнение стека). Что я действительно хочу сказать, чтобы

wxplot2d(phi[10], [x,-5,5]) даст мне разумную картину?

Answer 1

Есть несколько способов справиться с этим. Вот один из способов, который работает.

(%i2) phi[n](x) := sqrt(2/n)*x*phi[n-1](x) - sqrt((n-1)/n)*phi[n-2](x) $
(%i3) phi[0] : lambda ([x], exp(-1/2*x^2)) $
(%i4) phi[1] : lambda ([x], sqrt(2)*x*phi[0](x)) $
(%i5) phi[0];
(%o5) lambda([x],exp((-1)/2*x^2))
(%i6) phi[1];
(%o6) lambda([x],sqrt(2)*x*phi[0](x))
(%i7) phi[2];
(%o7) lambda([x],sqrt(2)*x^2*%e^-(x^2/2)-%e^-(x^2/2)/sqrt(2))
(%i8) phi[3];
(%o8) lambda([x],
         sqrt(2)*x*(sqrt(2)*x^2*%e^-(x^2/2)-%e^-(x^2/2)/sqrt(2))/sqrt(3)
          -2*x*%e^-(x^2/2)/sqrt(3))
(%i9) phi[10];
       <very large expression here>
(%i10) plot2d (%, [x, -5, 5]);
       <nice plot appears>

Это использует так называемые функции массива. Для любого целого числа n, phi[n] является лямбда-выражением (безымянная функция)

Обратите внимание, что это работает только для целых литералов (например, 0, 1, 2, 3, ...). Если вам нужно работать с phi[n] где n это символ, мы можем искать другой подход.