QR-разложение и разложение Холецкого в R

Question

Недавно я читал о том, как R-матрица QR-разложения может быть вычислена с использованием разложения Choleski. Отношение это:

R = разложение Холецкого (A^TA)

Пример:

> A=matrix(c(1,2,3,2,3,5,1,3,2), nrow=3)
> A
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    2    1
[2,]    2    3    3
[3,]    3    5    2

> AtA = t(A)%*%A
> AtA
     [,1] [,2] [,3]
[1,]   14   23   13
[2,]   23   38   21
[3,]   13   21   14

Теперь вычисляем QR и разложение Холецкого:

> chol(AtA)
         [,1]     [,2]       [,3]
[1,] 3.741657 6.147009  3.4743961
[2,] 0.000000 0.462910 -0.7715167
[3,] 0.000000 0.000000  1.1547005

> qr_A = qr(A)
> qr.R(qr_A)
          [,1]      [,2]       [,3]
[1,] -3.741657 -6.147009 -3.4743961
[2,]  0.000000  0.462910 -0.7715167
[3,]  0.000000  0.000000 -1.1547005

Как видно, значения матрицы R, рассчитанные по разложению Холецкого и QR, не совпадают. Первый и третий ряды chol(AtA) отрицается по отношению к qr.R(qr_A), Это почему? Является ли отношение, которое я предполагаю, не правильно?

Answer 1

QR-разложение матрицы не уникально! Существует QR-разложение с R=chol(AtA), но есть и другие, и qr не обязательно дает это. В вашем примере

qr.Q(qr_A)%*%qr.R(qr_A) 

а также

(qr.Q(qr_A)%*%diag(c(-1,1,-1)))%*%chol(AtA)

оба действительных QR-разложения А.