Влияние частоты дискретизации сигнала на его преобразование Фурье
Я провожу некоторые эксперименты на MATLAB, и я заметил, что при фиксированном периоде увеличение частоты дискретизации синусоидального сигнала приводит к тому, что различные сдвинутые формы волны в преобразовании Фурье становятся более четкими. Они раздвигаются дальше, я думаю, что это имеет смысл, потому что с увеличением частоты дискретизации увеличивается также разница между частотой Найквиста и частотой дискретизации, что создает эффект, противоположный псевдонимам. Я также заметил, что амплитуда пиков преобразования также увеличивается с увеличением частоты дискретизации. Даже постоянная составляющая (частота = 0) изменяется. Он отображается как 0 при некоторой частоте дискретизации, но при увеличении частоты дискретизации он больше не равен 0.
Все частоты дискретизации выше частоты Найквиста. Мне кажется странным, что преобразование Фурье меняет свою форму, поскольку в соответствии с теоремой дискретизации исходный сигнал может быть восстановлен, если частота дискретизации выше частоты Найквиста, независимо от того, равна ли она 2-кратной скорости Найквиста или 20-кратной. Разве другая форма волны Фурье не будет означать другой восстановленный сигнал?
Мне интересно, формально, как влияет частота дискретизации
Спасибо.
2 ответа
Вы объединяете преобразование между дискретными во времени и непрерывными во времени формами сигнала с обратимостью преобразования.
Единственная гарантия: для данного преобразования некоторого дискретного сигнала его обратное преобразование даст "тот же" дискретный сигнал обратно. Дискретный сигнал является абстрактным от любых частот. Все, что делает преобразование, - это берет некоторый вектор комплексных значений и возвращает обратно соответствующий по размеру вектор комплексных значений. Затем вы можете взять этот вектор, выполнить обратное преобразование и получить "оригинальный" вектор. Я использую кавычки, так как могут быть некоторые числовые ошибки, которые зависят от реализации. Как вы можете видеть, нигде не появляется частота слова, потому что это не имеет значения.
Итак, ваш реальный вопрос заключается в том, как получить БПФ со значениями, которые полезны для чего-то, кроме возврата исходного дискретного сигнала через обратное преобразование. Скажем, как получить БПФ, которое скажет человеку что-то хорошее о частотном содержании сигнала. Преобразование, "подстроенное" для человеческой полезности или для использования в дальнейшей обработке сигналов, такой как автоматическая транскрипция музыки, больше не может воспроизводить исходный сигнал после инверсии. Мы заменяем правдивость на полезность. Подробное обсуждение этого не может вписаться в один ответ, и в любом случае здесь не по теме.
Другой ваш реальный вопрос - как перейти между непрерывным сигналом и дискретным сигналом - как сэмплировать непрерывный сигнал и как восстановить его из его дискретного представления. Восстановление означает функцию (или процесс), которая выдаст значения, которые сигнал имел в моменты времени между выборками. Опять же, это большая тема.
При увеличении частоты дискретизации вы видите несколько вещей:
большинство (прямых) реализаций FFT имеют неявный коэффициент масштабирования N (иногда sqrt(N)) - если вы увеличиваете размер FFT по мере увеличения частоты дискретизации (т.е. сохраняете постоянным временное окно), тогда кажущаяся величина пиков в БПФ увеличится. При расчете значений абсолютной величины обычно необходимо учитывать этот коэффициент масштабирования.
Я предполагаю, что вы в настоящее время не применяете оконную функцию до БПФ - это приведет к "размыванию" спектра из-за утечки спектра, и точный характер этого будет очень зависеть от отношения между частотой дискретизации и частоты различных компонентов в вашем сигнале. Примените оконную функцию, и спектр должен выглядеть намного более согласованным при изменении частоты дискретизации.