Доказательство по индукции с использованием +2

Question

Мне интересно, если этот вариант доказательства по индукции является правильным

стандартное доказательство по индукции утверждает, что если уравнение / алгоритм работает для n, и вы можете доказать, что оно работает для n+1, то вы можете предположить, что оно работает для каждого целого числа, большего или равного n.

Теперь, если у вас было 2 базовых случая (например, 2 и 3), и вы должны были доказать, что это работает для n +2, можете ли вы сказать, что это работает для каждого целого числа больше 2?

потому что предположим, что вы можете доказать, что это правильно для n +2,

2+2=4
3+2=5
4+2=6

и т. д., чтобы вы покрыли каждое целое число больше 2

спасибо за помощь ^^

(также, если версия +2 верна, это означает, что если у вас есть m последовательных базовых вариантов и доказательство того, что оно работает для n+m, то оно будет работать для каждого целого числа, большего, чем n)

Answer 1

Это зависит от того, что вы подразумеваете под "это работает для n+2". Если вы имеете в виду, что есть какое-то утверждение S(n)и вы можете доказать

If S(n) is True then S(n+2) is True

И если вы знаете, что S(0) истинно, то по индукции следует, что S(2), S(4), S(6), ..., S(n) для всех четных n правда.

И если вы также знаете, что S(1) - это Истина, то из второго применения индукции следует, что S(3), S(5), ..,. S(n) для всех нечетных n правда.

---

Или, если вы можете доказать

If S(2n-1) and S(2n-2) are True, then S(2n) is True

а также что S(0) и S(1) истинны, тогда из индуктивного шага следует, что S (2) истинно. И поскольку S(1) и S (2) - "Истина", то снова на индуктивном этапе S (3) - "Истина". И из последовательных применений индуктивного шага следует, что S (n) верно для всех n> 0.

(Это легко адаптировать к шагам индукции, когда m предыдущие заявления S(n-m), ..., S(n-1) используются для доказательства S(n)...)

---

Если с другой стороны, вы можете только доказать

If S(n-1) and S(n) are True, then S(n+2) is True

тогда даже если S(0) и S(1) - "Истина", вы попадаете в беду, поскольку ваш индуктивный шаг просто дает вам, что S (3) - "Истина". Это не доказывает, что S (2) верно. Таким образом, индуктивный шаг не может быть применен снова и снова, и, таким образом, он не может достичь подъема...