Является ли вычислительно более сложным вычисление экспоненциальной или бесселевой функции?

Question

Часто желательно получить решение математической задачи в замкнутой форме, то есть в виде выражения, содержащего общепринятые функции, такие как полиномы, рациональные и иррациональные функции, корни, а также экспоненты и логарифмы. Я часто слышу об одном оправдании: когда задействованы известные функции, проще визуализировать поведение функции. Другое оправдание состоит в том, что вычислительно менее требовательно оценивать функцию в наборе точек. Хотя я, безусловно, согласен с первым обоснованием, разумно ли второе обоснование? Например:

• Требуется ли больше времени для вычисления модифицированной функции Бесселя первого рода и пятого порядка для 10 точек, чем для вычисления экспоненты?

• Требуется ли больше времени для вычисления экспоненциального интеграла, чем для вычисления экспоненциального?

Моя интуиция заключается в том, что во всех трех случаях формируется разложение в ряд Тейлора вокруг желаемой точки, поэтому все сводится к оценке полинома, некоторого другого полинома или его антипроизводного.

Answer 1

Я часто слышу об одном оправдании: когда задействованы известные функции, проще визуализировать поведение функции. Другое оправдание состоит в том, что вычислительно менее требовательно оценивать функцию в наборе точек.

Это только если функция "простая", а не закрытая. Вы можете создавать замкнутые формы, которые являются произвольно сложными и требуют вычислительно.

Я могу представить два подлинных преимущества закрытых решений:

• Поскольку большинство языков программирования поддерживают sqrt, sin и т. П., Решения с закрытыми формами легко представимы в коде.

• Если решение имеет замкнутую форму, то существует ряд алгебраических шагов, которые вы можете выполнить, чтобы найти решение - алгебраический (или, возможно, тригонометрический) алгоритм решения. Эти алгоритмы могут также содержать только этапы "закрытой формы", поэтому они будут довольно легко реализованы.

Если вы знаете, что решение вашей проблемы, вероятно, не имеет закрытой формы, вам придется прибегнуть к совершенно другому подходу для ее решения. Это может быть довольно сложно: вавилоняне могли решать квадратные уравнения 2000 г. до н.э., и потребовалось более 3000 лет, чтобы корни полиномов произвольного порядка могли быть решены с помощью чисел, а не алгебры.