Как решить два уравнения числовые по Python?

Question

Возможно, это самый простой способ показать вам код и попытаться объяснить его позже:

sigma_aussen = 7.1
roh_aussen = 38
lambda_schreib = 532*10**-9
lambda_rek = 432*10**-9
sigma_aussen=radians(sigma_aussen)
roh_aussen=radians(roh_aussen)

def BraggMatch(sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_rek):


    gw2, sig_innen, ref_innen, sig_din, ref_din, p2, sig, ref =var('gw2 sig_innen ref_innen sig_din ref_din p2 sig ref')

    sigma = asin(1/n_brech*sin(sigma_aussen))
    roh = asin(1/n_brech*sin(roh_aussen))
    gw = (sigma+roh)/2
    sigma_din =  (roh-sigma)/2
    roh_din =  (sigma-roh)/2


    gw2 = (asin(1/n_brech*sin(sig))+asin(1/n_brech*sin(ref))/2)
    print("gw2: ", gw2)

    sig_innen = asin(1/n_brech*sin(sig))
    ref_innen = asin(1/n_brech*sin(ref))
    print ("sig_innen: ", sig_innen)
    print ("ref_innen: ", ref_innen)


    sig_din = gw2-sig_innen
    ref_din = gw2-ref_innen
    print ("ref_din: ", ref_din)

    p = lambda_schreib/(n_brech*(sin(sigma_din)-sin(roh_din)))
    print ("p: ",p)
    p2 = lambda_rek/n_brech*(sin(sig_din)-sin(ref_din))
    print ("p2: ", p2)

    Winkel=nsolve([gw-gw2, p-p2],[sig,ref], [0,0])
    return Winkel    

Winkel = BraggMatch(sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_rek)

Вот мое объяснение: BraggMatch - это метод, который возвращает два угла в радианах.

два уравнения: gw-gw2=0 и p-p2=0. gw и p - две известные переменные. неизвестны только две переменные, sig и ref. что две неизвестные переменные должны быть решены численно и возвращены в метод BraggMatch.

С программным обеспечением Maple, решение двух уравнений не проблема. Может быть, это может помочь, показывая вам решение: sig=0.064 и ref=0.734

Это ошибка: "ValueError: Не удалось найти root в пределах заданного допуска. (0.0448851 > 2.1684e-19) Попробуйте другую начальную точку или настройте аргументы".

Вы делаете меня очень благодарным, помогая мне решить эту проблему. Это ядро ​​моей магистерской диссертации.

---

Во-первых, спасибо за вашу быструю реакцию.

Но я не думаю, что это правильный путь. Вы правы, я забыл n_brech=1.5, Сегодня я узнаю, что gw-gw2 может решить аналитическую. Так что мне нужно только решение для p-p2, Решения refа также sigмогут быть между PI и -PI, путем изменения sigma_aussen, roh_aussen, lambda_rekВот почему я начинаю искать решение в 0.

Здесь вы видите мой новый код:

n_brech = 1.5
sigma_aussen = 7.1
roh_aussnen = 38
lambda_schreib = 532*10**-9
lambda_rek = 432*10**-9
sigma_aussen=radians(sigma_aussen)
roh_aussen=radians(roh_aussen)

def BraggMatch(sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_rek):

    gw2, sig_innen, ref_innen, sig_din, ref_din, p2, sig, ref =var('gw2 sig_innen ref_innen sig_din ref_din p2 sig ref')

    sigma = asin(1/n_brech*sin(sigma_aussen))
    roh = asin(1/n_brech*sin(roh_aussen))
    gw = (sigma+roh)/2
    sigma_din =  (roh-sigma)/2
    roh_din =  (sigma-roh)/2


    gw2 = (asin(1/n_brech*sin(sig))+asin(1/n_brech*sin(ref))/2)
    ref_list=solve(gw-gw2,ref)
    ref=ref_list[0]
    print("ref: ", ref)
    gw2 = (asin(1/n_brech*sin(sig))+asin(1/n_brech*sin(ref))/2)

    sig_innen = asin(1/n_brech*sin(sig))
    ref_innen = asin(1/n_brech*sin(ref))
    sig_din = gw2-sig_innen
    ref_din = gw2-ref_innen

    p = lambda_schreib/(n_brech*(sin(sigma_din)-sin(roh_din)))
    p2 = lambda_rek/(n_brech*(sin(sig_din)-sin(ref_din)))
    print ("p2: ", p2)
    print ("p-p2: ", p-p2)
    sig=fsolve(p-p2,0)
    Winkel=[sig, ref]
    return Winkel

Winkel=BraggMatch(sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_rek)

Если вы хорошо разбираетесь в Maple, на изображении, которое я загружаю, вы видите проблему, которую мне нужно решить в Python, потому что здесь я могу визуализировать ее с помощью VPython. Код Maple возвращает углы в градусах, что не проблема.

---

Теперь я попытался написать код, как в Maple. Я получаю некоторые ошибки сейчас:

ZeroDivisionError

Вот код:

n_brech = 1.5
sigma_aussen = 7.1
roh_aussen = 38
lambda_schreib = 532*10**-9
lambda_rek = 432*10**-9
sigma_aussen=radians(sigma_aussen)
roh_aussen=radians(roh_aussen)

def BraggMatch(sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_rek):

    sig, ref =var('sig ref')

    def sigma(n_brech, sigma_aussen):
        return (asin(1/n_brech*sin(sigma_aussen)))
    def roh(n_brech, roh_aussen):
        return (asin(1/n_brech*sin(roh_aussen)))
    def gw(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen):
        return ((sigma(n_brech, sigma_aussen)+roh(n_brech, roh_aussen))/2)
    def sigma_din(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen):
        return (gw(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen)-sigma(n_brech, sigma_aussen))
    def roh_din(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen):
        return (gw(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen)-roh(n_brech, roh_aussen))
    def p(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen, lambda_schreib):
        return (lambda_schreib/(n_brech*(sin(sigma_din(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen))-sin(roh_din(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen)))))

    return (nsolve([gw(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen)-gw(n_brech, sig, ref), p(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen, lambda_rek)-p(n_brech, sig, ref, lambda_schreib)], [sig, ref], [0, 0]))

Winkel=BraggMatch(sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_rek)

Я не понимаю, почему это не работает...

Answer 1

Эта проблема также может быть решена численно, например, с scipy.optimize.minimize():

from scipy.optimize import minimize;
from math import radians, asin, sin;

sigma_aussen = 7.1
roh_aussen = 38
lambda_schreib = 532*10**-9
lambda_rek = 432*10**-9
sigma_aussen=radians(sigma_aussen)
roh_aussen=radians(roh_aussen)

n_brech = 1

def BraggMatch(sig,ref,sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_rek):
    sigma = asin(1/n_brech*sin(sigma_aussen))
    roh = asin(1/n_brech*sin(roh_aussen))
    gw = (sigma+roh)/2
    sigma_din =  (roh-sigma)/2
    roh_din =  (sigma-roh)/2
    gw2 = (asin(1/n_brech*sin(sig))+asin(1/n_brech*sin(ref))/2)
    sig_innen = asin(1/n_brech*sin(sig))
    ref_innen = asin(1/n_brech*sin(ref))
    sig_din = gw2-sig_innen
    ref_din = gw2-ref_innen
    p = lambda_schreib/(n_brech*(sin(sigma_din)-sin(roh_din)))
    p2 = lambda_rek/n_brech*(sin(sig_din)-sin(ref_din))
    return (gw-gw2)**2 + (p-p2)**2  

def f(x,sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_re):
    return BraggMatch(x[0],x[1],sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_re)

print(minimize(f,[0,0],args=(sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_rek)).x)

Однако я должен был догадаться, что n_brech = 1 потому что его значение не было показано в вопросе. scipy.optimize.minimize() действительно, находит решение ([ 0.3148574 0.1574287]) но это не то же самое решение, что и Maple.

Не зная источника уравнений и того, что они означают, я не могу быть уверен, что они сформулированы правильно. Я мог бы, однако, проверить несколько решений. Начиная оптимизацию с [0.064, 0.734] вместо того, чтобы в [0, 0] дал результат [ 0.0340574 0.7190287],

Таким образом, кажется, что есть несколько решений для этих уравнений и (по крайней мере, для этого значения n_brech), оптимизация найдет разные решения, если она будет запущена в разных точках.

(Далее РЕДАКТИРОВАТЬ)

Чтобы исследовать несколько решений, я использовал следующий код:

from scipy.optimize import minimize;
from math import radians, asin, sin, log;

sigma_aussen = 7.1
roh_aussen = 38
lambda_schreib = 532*10**-9
lambda_rek = 432*10**-9
sigma_aussen=radians(sigma_aussen)
roh_aussen=radians(roh_aussen)

n_brech = 1.5

def BraggMatch(sig,ref,sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_rek):
    sigma = asin(1/n_brech*sin(sigma_aussen))
    roh = asin(1/n_brech*sin(roh_aussen))
    gw = (sigma+roh)/2
    sigma_din =  (roh-sigma)/2
    roh_din =  (sigma-roh)/2
    gw2 = (asin(1/n_brech*sin(sig))+asin(1/n_brech*sin(ref))/2)
    sig_innen = asin(1/n_brech*sin(sig))
    ref_innen = asin(1/n_brech*sin(ref))
    sig_din = gw2-sig_innen
    ref_din = gw2-ref_innen
    p = lambda_schreib/(n_brech*(sin(sigma_din)-sin(roh_din)))
    p2 = lambda_rek/n_brech*(sin(sig_din)-sin(ref_din))
    return log((gw-gw2)**2 + (p-p2)**2) 

import matplotlib
import itertools
import numpy as np
import matplotlib.cm as cm
import matplotlib.mlab as mlab
import matplotlib.pyplot as plt

matplotlib.rcParams['xtick.direction'] = 'out'
matplotlib.rcParams['ytick.direction'] = 'out'

delta = 0.001
sig = np.arange(0, 1, delta)
ref = np.arange(0, 1, delta)
XY = [(x,y) for x in sig for y in ref]
Z = [ BraggMatch(x,y,sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_rek) for x,y in XY]
X = [x for x,y in XY]
Y = [y for x,y in XY]
Z = np.reshape(Z,(len(sig),-1))

plt.figure()
CS = plt.contour(sig, ref, Z)
plt.clabel(CS, inline=1, fontsize=10)
plt.title('Contour plot')
plt.xlabel('sig')
plt.ylabel('ref')

plt.show()

... который производит следующий вывод:

... из которого видно, что вдоль кривой в интересующем диапазоне много локальных минимумов. Таким образом, я не удивлен, что разные методы (и разное программное обеспечение) находят разные минимумы.