Генерация случайных чисел из трехмерного распределения вероятностей

Question

Как я могу генерировать случайные числа из заданного трехмерного PDF? Функция распределения вероятности дает вероятность того, что частица имеет какой-либо заданный набор кооридинетов в трехмерном пространстве.

Я определил функцию для PDF, и я могу оценить ее с дискретными интервалами, но я не знаю, куда идти дальше. Я бы использовал метод выборки с обратным преобразованием, но, поскольку PDF является трехмерным, я не знаю, смогу ли я вычислить дискретную кумулятивную функцию распределения. Можно ли сделать это, используя другой метод?

Спасибо

Answer 1

Если ваша пространственная система координат дискретна, рассматривайте ее как одномерную задачу генерации для генерации триплетов.

Если вы говорите о непрерывном распределении, вы, вероятно, хотите использовать условную вероятность. В принципе, вы должны быть в состоянии получить предельное распределение X, условное распределение Y для X и условное распределение Z для X и Y. Затем генерируйте X, Y и Z последовательно из их маргинального и условного распределений.

На практике это может быть довольно сложным.

добавление

Возможно, самой простой схемой было бы создание многомерного нормального вектора длины 3. Это дало бы наибольшую плотность вблизи начала координат и сужалось бы симметрично во всех направлениях. Вы можете сместить его со средним вектором, если плотность выше в каком-либо другом месте, вы можете масштабировать размеры независимо с различными дисперсиями, или вы можете вызвать произвольное выравнивание осей, указав матрицу дисперсии / ковариации для получения коррелированных нормалей.

Answer 2

Если вы можете допустить дискретность ваших трех измерений, то вы можете сделать это, создав кумулятивный дистрибутив для вашего 3D-дистрибутива аналогично тому, как вы делали бы это для одномерного дистрибутива. Позволь мне объяснить:

В 1D вы берете p(x) и дискретно получаете p_i = p (x_i) над x. Вы можете думать о p_i как о гистограмме, которая представляет ваше распределение вероятностей. P_i являются интегралами p(x) в диапазоне x, представленном x_i, который будет иметь некоторую ширину. Тогда кумулятивное распределение C (x_i) представляет собой просто сумму от p_i до x_i и будет представлять собой монотонную функцию в форме 'S' с диапазоном от 0 до 1. Затем вы рисуете случайные числа от 0 и 1, соответствующий C_i, и посмотреть, к какому значению x_i относятся эти карты.

Двухмерного примера будет достаточно, чтобы увидеть, как вышеприведенное обобщается на более чем 1D: представьте себе нормализованное p(x,y), которое вы можете дискретизировать как p (x_i, y_j). Затем вы можете суммировать это так, что у вас есть C_{i, j} = C (x_i, y_j). Вам просто нужно сделать выбор: идти ли сначала по "x_i" или "y_j" при интеграции. Либо вы прогуливаетесь, как C_1,1, C_2,1,..., C_{n, 1}, C_1,2,..., либо с перевернутыми индексами. В любом случае результатом будет массив уникальных значений C_{i, j} от 0 до 1. Затем вы можете выбрать случайное число от 0 до 1, соответствующее C_{i, j}, которое затем отобразится в уникальный x_i, у_j координатная пара. Это дает вам случайное число из дискретного распределения вероятностей и автоматически учитывает все корреляции, существующие между x и y.

Вы можете сделать свою координатную дискретизацию очень хорошей, если это необходимо, но это становится дорогостоящим, поскольку вы увеличиваете количество измерений, из которых вы производите выборку ( https://en.wikipedia.org/wiki/Curse_of_dimensionality).