Как использовать MATLAB для численного решения уравнения с неизвестным, встроенным в интеграл?

Question

Я пытался использовать MATLAB для решения таких уравнений:

B = альфа *Y0*sqrt(эпсилон)/(pi*ln(b/a)*sqrt(epsilon_t))* интеграл от 0 до пи (2*sinint(k0*sqrt(эпсилон *(a^2+b) ^2-2abcos(тета))-sinint(2*k0* SQRT (эпсилон) * а * грех (тета /2))-sinint(2*k0* SQRT (эпсилон) * б * грех (тета /2))) в отношении тета

Где эпсилон - неизвестно.

Я знаю, как символически решать уравнения с неизвестными, встроенными в интеграл, используя int() а также solve(), но с использованием символического интегратора int() занимает слишком много времени для уравнений это сложно. Когда я пытаюсь использовать quad(), quadl() а также quadgk()У меня проблемы с тем, как неизвестное встраивается в интеграл.

Answer 1

Такие вещи усложняются очень быстро. Хотя все это можно сделать в одном встроенном уравнении, я бы посоветовал вам разбить его на несколько вложенных функций, хотя бы для удобства чтения.

Лучший пример того, почему важна читабельность: у вас есть проблема с брекетингом в уравнении, которое вы разместили; закрывающих скобок недостаточно, поэтому я не совсем уверен, как выглядит уравнение в математической записи:)

В любом случае, вот один из способов сделать это с версией, которую, я думаю, вы имели в виду:

function test

    % some random values for testing    

    Y0 = rand;
    b  = rand;
    a  = rand;
    k0 = rand;
    alpha     = rand;
    epsilon_t = rand;

    % D is your B
    D = -0.015;

    % define SIMPLE anonymous function 
    Bb = @(ep) F(ep).*main_integral(ep) - D;

    % aaaand...solve it!
    sol = fsolve(Bb, 1)

    % The anonymous function above is only simple, because of these: 

    % the main integral    
    function val = main_integral(epsilon)

        % we need for loop through epsilon, due to how quad(gk) solves things
        val = zeros(size(epsilon));
        for ii = 1:numel(epsilon)

            ep = epsilon(ii);

            % NOTE how the sinint's all have a different function as argument:
            val(ii) = quadgk(@(th)...
                2*sinint(A(ep,th)) - sinint(B(ep,th)) - sinint(C(ep,th)), ...
                0, pi);            
        end

    end

    % factor in front of integral
    function f = F(epsilon)        
        f = alpha*Y0*sqrt(epsilon)./(pi*log(b/a)*sqrt(epsilon_t)); end

    % first sinint argument
    function val = A(epsilon, theta)
        val = k0*sqrt(epsilon*(a^2+b^2-2*a*b*cos(theta))); end

    % second sinint argument
    function val = B(epsilon, theta)
        val = 2*k0*sqrt(epsilon)*a*sin(theta/2); end

    % third sinint argument
    function val = C(epsilon, theta)
        val = 2*k0*sqrt(epsilon)*b*sin(theta/2); end    

end

Решение выше все еще будет довольно медленным, но я думаю, что это нормально для сложных интегралов.

Я не думаю, что реализовать свой собственный sinint очень поможет, так как большая часть потери скорости происходит из-за циклов for с не встроенными функциями... Если вам нужна скорость, я бы пошел на реализацию MEX с вашей собственной адаптивной квадратурной подпрограммой Гаусса-Кронрода.