Можно ли написать fmap для этого типа данных, включающего семейство типов?

Дано следующее семейство типов (предполагается, что оно отражает изоморфизм A×1 ≅ A)

type family P (x :: *) (a :: *) :: * where
  P x () = x
  P x a  = (x, a)

и тип данных, определенный в их терминах

data T a = T Integer (P (T a) a)

возможно ли каким-то хакером типа написать Functor экземпляр для последнего?

instance Functor T where
  fmap f = undefined  -- ??

Интуитивно понятно, что делать в зависимости от типа f, но я не знаю, как выразить это на Хаскеле.

1 ответ

Я склонен рассуждать о подобных добрых программах, использующих Agda.

Проблема в том, что вы хотите, чтобы образец соответствовал на * (Set в Agda), нарушают параметричность, как указано в комментарии. Это не хорошо, так что вы не можете просто сделать это. Вы должны предоставить свидетельство. Т.е. следующее невозможно

P : Set → Set → Set
P Unit b = b
P a b = a × b

Вы можете преодолеть ограничение, используя тип aux:

P : Aux → Set → Set
P auxunit b     = b
P (auxpair a) b = a × b

Или в Хаскеле:

data Aux x a = AuxUnit x | AuxPair x a

type family P (x :: Aux * *) :: * where
  P (AuxUnit x) = x
  P (AuxPair x a) = (x, a)

Но при этом у вас будут проблемы с выражением T, так как вам нужно снова сопоставить шаблон по его параметру, чтобы выбрать право Aux конструктор.


"Простое" решение, это выразить T a ~ Integer когда a ~ (), а также T a ~ (Integer, a) непосредственно:

module fmap where

record Unit : Set where
  constructor tt

data ⊥ : Set where

data Nat : Set where
  zero : Nat
  suc : Nat → Nat

data _≡_ {ℓ} {a : Set ℓ} : a → a → Set ℓ where
  refl : {x : a} → x ≡ x

¬_ : ∀ {ℓ} → Set ℓ → Set ℓ
¬ x = x → ⊥

-- GADTs
data T : Set → Set1 where
  tunit : Nat → T Unit
  tpair : (a : Set) → ¬ (a ≡ Unit) → a → T a

test : T Unit → Nat
test (tunit x) = x
test (tpair .Unit contra _) with contra refl
test (tpair .Unit contra x) | ()

Вы можете попытаться закодировать это в Haskell.

Вы можете выразить это с помощью, например, "идиоматического" неравенства типа Хаскеля

Я оставлю версию на Haskell в качестве упражнения:)


Хм или ты имел ввиду data T a = T Integer (P (T a) a):

T () ~ Integer × (P (T ()) ())
     ~ Integer × (T ())
     ~ Integer × Integer × ... -- infinite list of integers?

-- a /= ()
T a ~ Integer × (P (T a) a)
    ~ Integer × (T a × a) ~ Integer × T a × a
    ~ Integer × Integer × ... × a × a

Их также проще кодировать напрямую.

Другие вопросы по тегам