Почему свертка в пространственной области равна умножению в частотной области?

Question

Почему говорят, что "свертка изображения в пространственной области равна умножению в частотной области"? Может ли кто-нибудь объяснить это кратко?

Answer 1

Stackru, к сожалению, не поддерживает MathJaX, поэтому здесь сложно показать математику.

Одним из способов объяснения является то, что свертка является линейным инвариантным оператором.
Как вы знаете, линейно-временные / пространственно-инвариантные системы в основном делают одно - задержку и масштабирование.

Собственные функции задержки и масштабирования являются гармоническими функциями.
Это означает, что выдает сигнал, описываемый гармоническими сигналами (практически его преобразованием Фурье). Оператор линейного времени / пространственно-инвариантного масштабирует его только на комплексное число (масштабирование и сдвиг по фазе), что вы делаете в области Фурье.

Это похоже на диагонализацию в линейной алгебре.
Например, давайте применим фильтр, который мы применяем к изображению как оператор - A,
Таким образом, выход системы y = A x,
Если A диагонализируемый как A = P^T D P где D является диагональной матрицей и P P^T = I, а именно унитарная матрица.
Так y = A x = P^T D P x следовательно, определяя z = P x а также t = P y мы получаем t = D z а именно нам нужно только умножить каждый элемент в t а не вся матрица умножения.

Если вы думаете о P в качестве оператора Транса Фурье вместо умножения матриц вы можете поэлементно умножать в другой области - области Фурье.